Chủ đề này có 3 trả lời

[tpdtthltvp]

Cho x,y,z>0.CMR:

$\sum \frac{x^2}{(x+y)(x+z)}\geq \frac{3}{4}$

         

                                                           ----Đề thi Croatia 2004-----

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 26-11-2015 - 12:55

[hoctrocuaHolmes]

Cho x,y,z>0.CMR:

$\sum \frac{x^2}{(x+y)(x+z)}\geq \frac{3}{4}$

         

                                                           ----Đề thi Croatia 2004-----

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$\sum \frac{x^2}{(x+y)(x+z)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+zx}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}\rightarrow \blacksquare$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z$

[tpdtthltvp]

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

$\sum \frac{x^2}{(x+y)(x+z)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+3(xy+yz+zx)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+zx}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}\rightarrow \blacksquare$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z$

Hình như chỗ này ngược dấu thì phải?

[KietLW9]

Cho x,y,z>0.CMR:

$\sum \frac{x^2}{(x+y)(x+z)}\geq \frac{3}{4}$

         

                                                           ----Đề thi Croatia 2004-----

Nếu cho điều kiện $x+y+z=1$ thì:

Áp dụng Cô-si, ta được: $\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{9}{16}(x+y)(x+z)\geqslant \frac{3}{2}x$

Tương tự ta có: $\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{9}{16}(y+z)(y+x)\geqslant \frac{3}{2}y$; $\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}+\frac{9}{16}(z+x)(z+y)\geqslant \frac{3}{2}z$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $\frac{x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{z^2}{(z+x)(z+y)}\geqslant\frac{3}{2}(x+y+z)-\frac{9}{16}[(x+y+z)^2+xy+yz+zx]\geqslant\frac{3}{2}(x+y+z)-\frac{9}{16}[(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}]=\frac{3}{4}(Q.E.D)$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 23-04-2021 - 18:31