Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Bài kiểm tra số 2.

 

Thời gian làm: 180 phút.

 

Bài 5. Cho dãy đa thức $P_n(x)$ xác định bởi $P_0(x)=2,P_1(x)=x,P_{n+1}(x)=xP_n(x)-P_{n-1}(x)$ với mọi $n=1,2,3, \cdots $

a) Chứng minh rằng tất cả các đa thức $P_n(x)$ với $n=0,1,2, \cdots$ đều thoả mãn phương trình đa thức

\begin{equation} \label{1} P(x^2-2)=p^2(x)-2 \end{equation} 

Hơn nữa, mọi đa thức khác hằng là nghiệm của $\eqref{1}$ đề nằm trong dãy đa thức $P_n(x)$.

b) Chứng minh rằng với mọi $n \ge 1$. Đa thức $P_n(x)$ có đúng $n$ nghiệm thực phân biệt.

 

Bài 6. a) Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ $t$ thoả mãn tính chất: với mọi số nguyên dương $k$, tồn tại số nguyên dương $a_k$ sao cho $a_k^2+t$ chia hết cho $2^k$.

 

b) Chứng minh rằng tồn tại dãy số nguyên dương $(a_k)_{k=1}^{\infty}$ sao cho $a_k^2+7$ chia hết cho $2^k$ với mọi $k$ và $\frac{a_{k+1}^2+7}{2^{k+1}}$ chia hết cho $\frac{a_k^2+7}{2^k}$ với mọi $k=1,2,3, \cdots$

 

Bài 7. Từ điểm $A$ ngoài đường tròn $(O)$ kẻ tiếp tuyến $AB,AC$ tới $(O)$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$. Từ một điểm $M$ trên $EF$ ($M \ne E,F$) kẻ tiếp tuyến $MP,MQ$ tới $(O)$. $PQ$ cắt $EF$ tại $N$. $OA$ lần lượt cắt $BC,PQ,EF$ tại $G,H,D$. $MH$ cắt $ON$ tại $K$.

a) Chứng minh tứ giác $MNKG$ nội tiếp đường tròn tâm $I$.

 

b) Tia $IH$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $OMN$ tại $J$. $OJ$ cắt $EF$ tại $T$. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp tam giác $JKH$ và $DTK$ tiếp xúc với nhau.

 

Nguồn: FB anh Cẩn.

Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 11-12-2015 - 03:21

[Zaraki]

Lời giải cho bài 6 của mình.

 

a) Ta sẽ đi chứng minh tất cả các số $t$ thoả mãn đều có dạng $2^{2x}(8y+7)$ với $x,y \in \mathbb{Z};x,y \ge 0$.

Thật vậy, nếu $t$ chẵn, ta không khó để suy ra rằng $2 \mid v_2(t)$ vì nếu $2 \nmid v_2(t)$ thì chọn ngay $k=v_2(t)+1$ ta suy ra $v_2(t)=v_2(a_k^2)=2v_2(a_k)$ mâu thuẫn.

 

Ta chỉ cần tìm tất cả $t$ lẻ vì nếu $t$ chẵn, ta có thể đưa về trường hợp $t$ lẻ bằng cách chọn $a_k=2^{v_2(t)/2}b_k$. Ta có $2^k \mid a_k^2+t$ nên với $k \ge 3$ ta suy ra $t \not\equiv 1,3,5 \pmod{8}$ suy ra $t \equiv 7 \pmod{8}$. Bây giờ ta sẽ chứng minh $t=8l+7$ thoả mãn với mọi $l \in \mathbb{N}, l \ge 0$ bằng cách xây dựng một dãy $(a_k)_{k=1}^{\infty}$ thoả mãn $2^k \mid a_k^2+8l+7$.

 

Chọn $a_1=1$ thì $2 \mid a_1^2+8l+7=8(l+1)$. Chọn $a_2=a_3=1$.

Nếu $2^k \mid a_k^2+8l+7$ thì ta tìm $a_{k+1}$ sao cho $2^{k+1} \mid a_{k+1}^2+8l+7$ như sau: Nếu $a_{k}^2+8l+7=2^m \cdot B \; (2 \nmid B,m \ge k)$ thì  $a_{k+1}=2^{m-1}B-a_k$. Khi đó $$a_{k+1}^2+8l+7=\left( 2^{m-1}B-a_k \right)^2+8l+7= \left( a_k^2+8l+7 \right)+ 2^mBa_k+2^{2(m-1)}B.$$

Ta có $v_2(a_k^2+8l+7)=v_2(2^mBa_k)=m$ nên $2^{m+1} \mid \left( a_k^2+8l+7 \right)+2^mBa_k$ và $2^{m+1} \mid 2^{2(m-1)}B$ nên $$2^{k+1} \mid 2^{m+1} \mid a_{k+1}^2+8l+7.$$

 

b) Ta xây dựng dãy tương tự như câu a.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 11-12-2015 - 03:15