Chủ đề này có 5 trả lời

[thuylinh_909]

Tại sao hàm số $f$ đo được trên khoảng $(a,b)$ thì $f$ đo được trên đoạn $[a,b]$

[An Infinitesimal]

Hàm số đo được trên $(a,b)$ được hiểu như thế nào? (bạn làm rõ quan điểm về $\sigma$ đại số trên $(a,b) $).

[thuylinh_909]

Theo mình biết thì : $f : (a,b) \rightarrow \mathbb{R} $ 

                                  $f$ đo được trên $(a,b)$

                                  $\Leftrightarrow f^-1(G) \in \sigma $ đại số $F$ với mọi $G$ mở trong $\mathbb{R} $

                                  $\Leftrightarrow$ {$x \in (a,b) : f(x) > \alpha $} $\in \sigma$ đại số $F$ với mọi $\alpha \in \mathbb{R} $

[thuylinh_909]

À , rồi rồi $ \forall \alpha $

{ $x \in [ a,b ] : f(x) > \alpha $} = { $x \in (a,b) : f(x) > \alpha $}

                                         hoặc = { $x \in (a,b) : f(x) > \alpha $} $\cup$ {$a$} 

                                         hoặc = { $x \in (a,b) : f(x) > \alpha $} $\cup$ {$b$} 

                                         hoặc = { $x \in (a,b) : f(x) > \alpha $} $\cup$ {$a,b$} 

Các tập {$a$},{$b$},{$a,b$} đều thuộc $\sigma$ đại số Borel nên đo được Borel và từ đó đo được Lebesgue 

[An Infinitesimal]

Nhưng cuối cùng, $\sigma$ đại số trên $[a,b]$ cũng không được rõ ràng?!

[NH3C00H]

Nếu với các $\sigma$ đại số bất kỳ thì mình ko chắc, nhưng với $\sigma$-borel thì đúng.