Cho M là một số nguyên dương $S=\left \{ n \epsilon \mathbb{N}*/M^2\leq n<(M+1)^2 \right \} $. Chứng minh rằng mọi tích $ab$ (a,b thuộc S) phân biệt
$S=\left \{ n \epsilon \mathbb{N}*/M^2\leq n<(M+1)^2 \right \}$
#1
Đã gửi 28-11-2015 - 20:23
Chung Anh
#2
Đã gửi 16-12-2015 - 20:02
Cho M là một số nguyên dương $S=\left \{ n \epsilon \mathbb{N}*/M^2\leq n<(M+1)^2 \right \} $. Chứng minh rằng mọi tích $ab$ (a,b thuộc S) phân biệt
Ý tưởng tự nhiên nhất là phản chứng. Giả sử ngược lại là tồn tại cặp $ab = cd$ với ít nhất 1 số ở VP khác 1 số ở VT. Không mất tổng quát giả sử rằng $a = max(a; b; c; d) \implies b = min(a; b; c; d)$. Không mất tổng quát, lại giả sử rằng $c \le d$. Từ đó, ta có bộ sắp thứ tự $M^2 \le b \le c \le d \le a < (M + 1)^2$. Dễ dàng thấy rằng $\sqrt{a} - \sqrt{b} < 1$.
Đặt $c = b + x; d = b + y; a = b + z$. Khi đó $x \le y \le z$:
Ta có $ab = cd \iff (b + z)b = (b + x)(b + y) \implies b(z - x - y) = xy$. Để ý các biến trên đều là số tự nhiên, suy ra $b|(xy)$ và $z \ge x + y$. Suy ra $xy = 0$ hoặc $xy \ge b$
Nếu $xy \neq 0$ thì $xy \ge b$:
$z = \frac{xy}{b} + x + y \ge 1 + 2\sqrt{xy} (i)$
Mặt khác, từ $\sqrt{a} < 1 + \sqrt{b} \implies b + z = a < 1 + b + 2\sqrt{b} \implies z < 1 + 2\sqrt{xy} (ii)$
Từ $(i)$ và $(ii)$ thì thấy mâu thuẫn.
Từ đó $xy = 0$.
Với $x = 0$ thì có $b = c$, từ điều kiện đầu có được $a = d$, mâu thuẫn với cách chọn cặp của ta.
Với $y = 0$ thÌ $b = c = d$, tiếp tục như trên lại mâu thuẫn.
Tóm lại các tích $ab$ phân biệt.
p.s: Mình thấy làm xong thấy nặng đại số quá. Và điều kiện $\sqrt{a} - \sqrt{b} < 1$ thì quan trọng. Hình như dùng điều kiện khác để đánh giá cũng được . À cho mình hỏi nguồn bài này với nhé?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 18-12-2015 - 15:42
- Chung Anh và nhungvienkimcuong thích
#3
Đã gửi 18-12-2015 - 11:15
#4
Đã gửi 06-01-2016 - 22:39
Cho M là một số nguyên dương $S=\left \{ n \epsilon \mathbb{N}*/M^2\leq n<(M+1)^2 \right \} $. Chứng minh rằng mọi tích $ab$ (a,b thuộc S) phân biệt
Cách khác như sau
Cũng giả sử có $ab=cd$ và giả sử rằng $a>b$ , $c>d$ và $a>c$ suy ra $a>c>d>b$
Do $ab=cd$ nên tồn tại các số $x,y,z,t$ để cho $a=xy$, $b=zt$, $c=xt$, $d=yz$ ( đây là bổ đề 4 số rất cơ bản, chứng minh rất dễ )
Vì $a>c$ nên $y>t$, $a>d$ nên $x>z$ .
Suy ra $ xy \ge (z+1)(t+1) =zt +z+t+1 \ge zt+ 2\sqrt{zt} +1 \ge M^2 + 2M+1 = (M+1)^2 $ Vô lí rồi.
Vậy ta có đpcm
$\ge$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 06-01-2016 - 22:50
- Chung Anh, nhungvienkimcuong và Element hero Neos thích
__________
Bruno Mars
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh