Chủ đề này có 1 trả lời

[Kira Tatsuya]

Cho $x,y,z >0$ thỏa $3xyz=xy+yz+zx$. Chứng minh:

$\frac{y^2}{xy^2+2x^2}+\frac{x^2}{zx^2+2z^2}+\frac{z^2}{yz^2+2y^2}\geq 1$

[royal1534]

Từ giả thiết ta có: 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$

Đặt$ x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$

$\rightarrow a+b+c=3$

BĐT cần chứng minh 

$\leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a+2b^{2}} \geq 1$ 

Trước hết ta có nhận xét quen thuộc sau: $\sum ab \leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=3$

Sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu ta có:

$VT=a-\frac{2b^{2}a}{a+b^{2}+b^{2}} \geq a-\frac{2b^{2}a}{3b\sqrt[3]{ab}}$ $=\sum a-\frac{2}{3}.(\sum\sqrt[3]{a^{2}b^{2}}) \geq 3-\frac{2}{9}(2\sum ab+3) \geq 3-\frac{2}{9}(6+3)=1$

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c \leftrightarrow x=y=z=1$