Bài 1: $\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2014} & (1)\end{matrix}$
$(1)\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2014}\Leftrightarrow x+y= \frac{xy}{2014}$
$(1)\Leftrightarrow \frac{1}{x}-\frac{1}{2014}=\frac{-1}{y}\Leftrightarrow \frac{2014-x}{2014x}=\frac{-1}{y}\Leftrightarrow x-2014=\frac{2014x}{y}$
Tương tự ta được: $(1)\Leftrightarrow y-2014=\frac{2014y}{x}$
Thế tất cả các kết quả trên vào P rồi quy đồng, rút gọn ta được $P=\frac{1}{2014^{2}}$
Bài 2: $A=1\sqrt{3x-5}+1\sqrt{7-3x}\leq \frac{3x-5+1}{2}+\frac{7-3x+1}{2}=2$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x-5=1\\ 7-3x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=2$
Bài 3: $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=1-2xy$ thế vào S ta được:
$S=\frac{1}{1-2xy}+\frac{3}{4xy}=\frac{4xy+3-6xy}{(1-2xy)4xy}=\frac{3-2xy}{(1-2xy)4xy}$
Ta lại có:
$1=(x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow 2xy\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 3-2xy\geq \frac{5}{2}$
$0\leq \sqrt{(1-2xy)2xy}\leq \frac{1-2xy+2xy}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow (1-2xy)2xy\leq \frac{1}{4}\Leftrightarrow (1-2xy)4xy\leq \frac{1}{2}$
Suy ra $S\geq 5$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$
Mình không rành BĐT lắm nên bài 3 mình giải hơi dài, mình không nghĩ ra được cách nào ngắn hơn, thông cảm nha.