Chủ đề này có 2 trả lời

[Sherlock Nguyen]

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$. Biết $a, b, c$ là các số thực dương.

[royal1534]

$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a^{2}}{b}$. Biết $a, b, c$ là các số thực dương.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+a \geq 2\frac{a^{2}}{b}$

$\rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b^{2}} \geq 2\sum \frac{a^{2}}{b}-\sum a$

Ta cần chứng minh $\sum \frac{a^{2}}{b} \geq \sum a $

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swachz ta có 

$\sum \frac{a^{2}}{b} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c$

Vậy ta có đpcm.Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 30-11-2015 - 16:36

[revenge]

theo AM-GM 

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+a \geq 2\frac{a^{2}}{b}$

và $\frac{a^{2}}{b}+b \geq 2a$

vậy suy ra dpcm