Chủ đề này có 1 trả lời

[Quynh Le]

Cho $a;b;c>0$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)} \leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$ 

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a;b;c>0$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}+\sqrt{c(a+1)} \leq \frac{3}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}$ 

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có :

$\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(c+1)}=\sqrt{a}.\sqrt{b+1}+1.\sqrt{b(c+1)} \leq \sqrt{(a+1)(b+1+b(c+1))}$

Suy ra :

$\sum \sqrt{a(b+1)} \leq \sqrt{a+1}(\sqrt{b+1+b(c+1)}+\sqrt{c})$

Mặt khác : theo BĐT $Cauchy-Schwarz$

$\sqrt{b+1+b(c+1)}+\sqrt{c}=\sqrt{b+1+b(c+1)}.1+\sqrt{c+1}.\sqrt{\frac{c}{c+1}} \leq \sqrt{(1+\frac{c}{c+1})(b+1+b(c+1)+c+1)}$

$=\sqrt{(1+\frac{c}{c+1})(b+1)(c+2)}$
Giờ cần chứng minh :

$\sqrt{(c+2)(1+\frac{c}{c+1})} \leq \frac{3}{2}.\sqrt{c+1}$

$\Leftrightarrow (c-1)^{2} \geq 0$ ( luôn đúng )

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 04-05-2016 - 20:09