Một R- môđun M được gọi là đơn ney61 không có bất kì môđun con nào khác 0 và chính nó. Chứng minh rằng M là đơn khi và chỉ khi với mọi $x\in M, x\neq 0$ ta có $ M = Rx = \left \{ rx\mid r\in R \right \}$
Chứng minh một môđun được gọi là đơn
#1
Đã gửi 02-12-2015 - 15:13
#2
Đã gửi 31-12-2015 - 19:06
Một R- môđun M được gọi là đơn nếu không có bất kì môđun con nào khác 0 và chính nó.
Chứng minh rằng M là đơn khi và chỉ khi với mọi $x\in M, x\neq 0$ ta có $ M = Rx = \left \{ rx\mid r\in R \right \}$.
$(\Longrightarrow)$ Giả sử $M$ là môđun đơn.
Lấy $x\in M\setminus\{0\}$ thì $Rx\neq0$ suy ra $Rx=M$ (định nghĩa môđun đơn).
$(\Longleftarrow)$ Giả sử $M=Rx$ với mọi $x\neq0$.
Ta chứng minh với $0\subsetneq N \subseteq M$ thì $N=M$. Thật vậy,
$0\subsetneq N \subseteq M$ nên tồn tại $x\in N\setminus\{0\}$.
Suy ra $M=Rx\subseteq N\subseteq M$ hay $N=M$.
Vậy $M$ là môđun đơn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChienMatic: 31-12-2015 - 19:08
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh