Chủ đề này có 2 trả lời

[Holutu]

a/ tìm x,y,z nguyên biết :$x+y+z=x^{3}+y^{3}+z^{3}$=3

b/ $a^{2}+b^{2}+1\geq ab+a+b$

c/ $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$

d/ cho x,y là 2 số thực dương . chứng minh rằng $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$

e/ cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b\leq 1$ .tìm gtnn của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{ab}+4ab$

Hình gửi kèm

• 

[Kira Tatsuya]

2/b $a^2+b^2\geq2ab;a^2+1\geq2a;b^2+1\geq2b$
Cộng vế với vế, ta được đpcm

 

2/c $a^2+b^2\geq2ab; b^2+c^2\geq2bc;c^2+a^2\geq2ca$
Cộng vế với vế, ta được bđt: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\\\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq 3(ab+bc+ca)\\\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$
(dpcm)

 

2\d $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}\\\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}\geq\frac{4}{x+y}\\\Leftrightarrow (x+y)^2\geq4xy\\\Leftrightarrow(x-y)^2\geq0$
bđt cuối luôn đúng, nên ta có đpcm

 

2e\
$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab\\=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\geq \frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\frac{1}{2ab}.8ab}-(a+b)^2\geq\frac{4}{1}+2.2-1=7$
Đẳng thức khi $a=b=0,5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 03-12-2015 - 17:05

[Holutu]

2/b $a^2+b^2\geq2ab;a^2+1\geq2a;b^2+1\geq2b$
Cộng vế với vế, ta được đpcm

 

2/c $a^2+b^2\geq2ab; b^2+c^2\geq2bc;c^2+a^2\geq2ca$
Cộng vế với vế, ta được bđt: $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\\\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq 3(ab+bc+ca)\\\Leftrightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$
(dpcm)

 

2\d $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}\\\Leftrightarrow \frac{x+y}{xy}\geq\frac{4}{x+y}\\\Leftrightarrow (x+y)^2\geq4xy\\\Leftrightarrow(x-y)^2\geq0$
bđt cuối luôn đúng, nên ta có đpcm

 

2e\
$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab\\=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+8ab-4ab\geq \frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\frac{1}{2ab}.8ab}-(a+b)^2\geq\frac{4}{1}+2.2-1=7$
Đẳng thức khi $a=b=0,5$

chu giai hay ghe