Chủ đề này có 6 trả lời

[gianglqd]

Cho a, b, c là 3 số thực dương. CMR:

$\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

[lebaominh95199]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sqrt{\frac{bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{ab}{c(c+a)}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$ (1)

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$, bất đẳng thức (1) trở thành:

$x\sqrt{\frac{1}{z(x+y)}}+y\sqrt{\frac{1}{x(y+z)}}+z\sqrt{\frac{1}{y(x+z)}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow$ $x\sqrt{\frac{1}{z(\frac{x+y}{2})}}+y\sqrt{\frac{1}{x(\frac{y+z}{2})}}+z\sqrt{\frac{1}{y(\frac{x+z}{2})}}\geq 3$

Lại có:$x\sqrt{\frac{1}{z(\frac{x+y}{2})}}\geq \frac{4x}{2z+x+y}$ 

Cộng các bất đẳng thức tương tự như vậy, ta có:

$x\sqrt{\frac{1}{z(\frac{x+y}{2})}}+y\sqrt{\frac{1}{x(\frac{y+z}{2})}}+z\sqrt{\frac{1}{y(\frac{x+z}{2})}}\geq 4(\frac{x}{2z+x+y}+\frac{y}{2x+y+z}+\frac{z}{2y+x+z})\geq 4\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3xy+3yz+3xz}\geq 3$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 08-12-2015 - 14:44

[gianglqd]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sqrt{\frac{bc}{a(a+b)}}+\sqrt{\frac{ca}{b(b+c)}}+\sqrt{\frac{ab}{c(c+a)}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$ (1)

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$, bất đẳng thức (1) trở thành:

$x\sqrt{\frac{1}{z(x+y)}}+y\sqrt{\frac{1}{x(y+z)}}+z\sqrt{\frac{1}{y(x+z)}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow$ $x\sqrt{\frac{1}{z(\frac{x+y}{2})}}+y\sqrt{\frac{1}{x(\frac{y+z}{2})}}+z\sqrt{\frac{1}{y(\frac{x+z}{2})}}\geq 3$

Lại có:$x\sqrt{\frac{1}{z(\frac{x+y}{2})}}\geq \frac{4x}{z+2x+2y}$ 

Cộng các bất đẳng thức tương tự như vậy, ta có:

$x\sqrt{\frac{1}{z(\frac{x+y}{2})}}+y\sqrt{\frac{1}{x(\frac{y+z}{2})}}+z\sqrt{\frac{1}{y(\frac{x+z}{2})}}\geq 4(\frac{x}{2z+x+y}+\frac{y}{2x+y+z}+\frac{z}{2y+x+z})\geq 4\frac{(x+y+z)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3xy+3yz+3xz}\geq 3$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.

Phần màu đỏ là sao bạn

[lebaominh95199]

Phần màu đỏ là sao bạn

À, thì ta có:$\sqrt{z.\frac{x+y}{2}}\leq \frac{z+\frac{x+y}{2}}{2}$

$\Leftrightarrow x.\sqrt{\frac{1}{z.\frac{x+y}{2}}}\geq \frac{4x}{z+2x+2y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 04-12-2015 - 17:03

[gianglqd]

À, thì ta có:$\sqrt{z.\frac{x+y}{2}}\leq \frac{z+\frac{x+y}{2}}{2}$

$\Leftrightarrow x.\sqrt{\frac{1}{z.\frac{x+y}{2}}}\geq \frac{4x}{z+2x+2y}$

Nếu vậy phải là $\Leftrightarrow x.\sqrt{\frac{1}{z.\frac{x+y}{2}}}\geq \frac{4x}{2z+x+y}$ chứ nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 04-12-2015 - 19:47

[lebaominh95199]

Nếu vậy phải là $\Leftrightarrow x.\sqrt{\frac{1}{z.\frac{x+y}{2}}}\geq \frac{4x}{2z+x+y}$ chứ nhỉ

Ừ, cảm ơn bạn. Mình có nhầm chút xíu, nhưng phần sau thì vẫn đúng. Mình đánh máy lộn ấy mà.

[Dinh Xuan Hung]

Cho a, b, c là 3 số thực dương. CMR:

$\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\geq \frac{3}{\sqrt{2abc}}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{\sqrt{2bc}}{\sqrt{a(a+b)}} & & & \\ y=\dfrac{\sqrt{2ac}}{\sqrt{b(b+c)}} & & & \\ z=\dfrac{\sqrt{2ab}}{\sqrt{c(c+a)}} & & & \end{matrix}\right.$

 

Ta phải CM:$x+y+z\geq 3$

 

Nhưng sẽ đi CM BĐT mạnh hơn là:

 

$3\leq xy+yz+xz=\sum \frac{2c}{\sqrt{(a+b)(b+c)}}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=\sqrt{b+c} & & & \\ v=\sqrt{c+a} & & & \\ w=\sqrt{a+b} & & & \end{matrix}\right.$

 

Khi đó:$\left\{\begin{matrix} yz=\dfrac{w^2+v^2-u^2}{uv} & & & \\ xz=\dfrac{u^2+w^2-v^2}{vw} & & & \\ xy=\dfrac{v^2+u^2-w^2}{uw} & & & \end{matrix}\right.$

 

BĐT tương đương với:$(u^3+v^3+w^3)+(u^2v+v^2w+w^2u)\geq (v^2u+w^2v+u^2w)+3uvw$

 

Tuy vậy BĐT này luôn đúng vì:

 

$u^3+v^3+w^3+u^2v+v^2w+w^2u\geq 2(v^2u+w^2v+u^2w)$

 

$v^2u+w^2v+u^2w\geq 3uvw$

 

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ $ \blacksquare$