Chủ đề này có 8 trả lời

[anhtukhon1]

1) CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27

2)Tìm số tự nhiên n sao cho $n^{3}-8n^{2}+2n\vdots n^{2}+1$

3)Cho p là số nguyên tố >3. CMR: $3^{p}-2^{p}-1\vdots 42p$

4)CM với mọi số nguyên tố p có dạng $2^{n}-n(n\epsilon N)\vdots p$

5)CMR: Tồn tại 1 bội số của số 1993 chỉ chứa toàn số 1

6)CMR: Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết cho 5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 03-12-2015 - 20:53

[I Love MC]

 

3)Cho p là số nguyên tố >3. CMR: $3^{p}-2^{p}-1\vdots 42p$

 

Dễ dàng chứng minh được $3^p-2^p-1 \vdots 6$ 
Ta có $3^p-2^p-1=3^p+4^p-(4^p+2^p+1)$ chia hết cho $7$ 
Vì $(2^p-1)(4^p+2^p+1)=8^p-1$ chia hết cho $7$ 
Ta chứng minh $2^p-1$ ko chia hết cho $7$ bằng cách 
Xét $p=3k+1,3k+2$ 
Áp dụng định lí Fermat nhỏ : $3^p-3 \vdots p,2^p-2 \vdots p$ Suy ra đpcm 

[revenge]

6) trong 17 số thì toàn tại ít nhất 5 số có cùng số dư suy ra đây là 5 số cần tìm 

[revenge]

5) trong các số có dang 11...11 thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 1993 giả sử a=11...1(m số 1 ) và b=11...1( n số 1 )với m>n suy ra a-b chia hết cho 1993 mà $a-b=111...11.10^{n}$ với m-n số 1 mà $(1993,10^n)=1$ suy ra  111...11 chia hết cho 1993 có m-n số 1

[revenge]

2)$n^2+1 |n^3-8n^2+2n=n(n^2+1)-8(n^2+1)+n+8$ suy ra $n^2+1|n+8$ suy ra $n+8 \geq n^2+1$ tương dương $-2\leq n \leq 3$ mà n>0 vậy thử vài trường hợp thì suy ra n=2

[anhtukhon1]

6) trong 17 số thì toàn tại ít nhất 5 số có cùng số dư suy ra đây là 5 số cần tìm 

Nhỡ 4 số chia cho 5 dư 0; 4 số chia cho 5 dư 1; 4 số chia cho 5 dư 2; 4 số chia cho 5 dư 3; 1 số chia cho 5 dư 4 thì sao có phải tồn tại ít nhất 5 số có cùng số dư đâu bạn?

[minhrongcon2000]

6)CMR: Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết cho 5

Nếu trong 17 số đã cho không tồn tại bất cứ số nào chia hết cho 5 thì 17 số đó chia 5 có 4 số dư. Như vậy, theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất 5 số có cùng số dư khi chia cho 5. Như vậy tổng của 5 số đó sẽ chia hết cho 5(giả sử 5 số đó đều dư k khi chia cho 5 thì 5 số đó sẽ đồng dư 5k đồng dư 0(mod 5)). Suy ra đpcm.

Nếu trong 17 số đó có 1 số chia hết cho 5 thì 17 số đó chia 5 dư 0,1,2,3,4,5. Khi đó, ta chỉ cần chọn 5 số có số dư đôi một khác nhau khi chia cho 5 là ra đpcm

[minhrongcon2000]

1/ Dễ thấy, 1000 số đầu tiên sẽ có 1 số chia hết cho 1000. Giả sử số đó có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}000000.....}$.

Như vậy tổng các chữ số đó sẽ là n với n=$\sum_{i=1}^{n}a_{i}$

Xét các dãy số n,n+1,n+2,....,n+26. Trong dãy sẽ có 1 số chia hết cho 27. Suy ra đpcm.

[Trung Kenneth]

Bài 3:

Chứng minh chia hết cho 6 dễ (vì P nt>7 => P lẻ)

 

Dễ dàng chứng minh được $3^p-2^p-1 \vdots 6$ 
Ta có $3^p-2^p-1=3^p+4^p-(4^p+2^p+1)$ chia hết cho $7$ 
Vì $(2^p-1)(4^p+2^p+1)=8^p-1$ chia hết cho $7$ 
Ta chứng minh $2^p-1$ ko chia hết cho $7$ bằng cách 
Xét $p=3k+1,3k+2$ 
Áp dụng định lí Fermat nhỏ : $3^p-3 \vdots p,2^p-2 \vdots p$ Suy ra đpcm 

Ở c/m $\vdots 7$ thì ta có:

Vì p nguyên tố nên p chia 6 dư 1 hoặc 5

Xét p=6k+1 => $$\left ( 3^{6} \right )^{k}.3 - \left ( 2^{6} \right )^{k}.2-1\equiv 3-2-1\equiv 0(mod7)$$

Xét p=6k+5=> P= $\left ( 3^{6} \right )^{k}.3^{5} - \left ( 2^{6} \right )^{k}.2^{5}-1\equiv 5-4-1\equiv 0(mod7)$