Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho p là số nguyên tố >3. CMR: $3^{p}-2^{p}-1\vdots 42p$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 anhtukhon1

anhtukhon1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K64-TN-KHMT-BKHN
  • Sở thích:dota

Đã gửi 03-12-2015 - 20:46

1) CMR: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27

2)Tìm số tự nhiên n sao cho $n^{3}-8n^{2}+2n\vdots n^{2}+1$

3)Cho p là số nguyên tố >3. CMR: $3^{p}-2^{p}-1\vdots 42p$

4)CM với mọi số nguyên tố p có dạng $2^{n}-n(n\epsilon N)\vdots p$

5)CMR: Tồn tại 1 bội số của số 1993 chỉ chứa toàn số 1

6)CMR: Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết cho 5


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 03-12-2015 - 20:53


#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1864 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 03-12-2015 - 21:57

 

3)Cho p là số nguyên tố >3. CMR: $3^{p}-2^{p}-1\vdots 42p$

 

Dễ dàng chứng minh được $3^p-2^p-1 \vdots 6$ 
Ta có $3^p-2^p-1=3^p+4^p-(4^p+2^p+1)$ chia hết cho $7$ 
Vì $(2^p-1)(4^p+2^p+1)=8^p-1$ chia hết cho $7$ 
Ta chứng minh $2^p-1$ ko chia hết cho $7$ bằng cách 
Xét $p=3k+1,3k+2$ 
Áp dụng định lí Fermat nhỏ : $3^p-3 \vdots p,2^p-2 \vdots p$ Suy ra đpcm 



#3 revenge

revenge

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trường lê hồng phong thành phố hồ chí minh

Đã gửi 06-12-2015 - 12:53

6) trong 17 số thì toàn tại ít nhất 5 số có cùng số dư suy ra đây là 5 số cần tìm 



#4 revenge

revenge

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trường lê hồng phong thành phố hồ chí minh

Đã gửi 06-12-2015 - 13:06

5) trong các số có dang 11...11 thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 1993 giả sử a=11...1(m số 1 ) và b=11...1( n số 1 )với m>n suy ra a-b chia hết cho 1993 mà $a-b=111...11.10^{n}$ với m-n số 1 mà $(1993,10^n)=1$ suy ra  111...11 chia hết cho 1993 có m-n số 1



#5 revenge

revenge

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:trường lê hồng phong thành phố hồ chí minh

Đã gửi 06-12-2015 - 13:21

2)$n^2+1 |n^3-8n^2+2n=n(n^2+1)-8(n^2+1)+n+8$ suy ra $n^2+1|n+8$ suy ra $n+8 \geq n^2+1$ tương dương $-2\leq n \leq 3$ mà n>0 vậy thử vài trường hợp thì suy ra n=2



#6 anhtukhon1

anhtukhon1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 480 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K64-TN-KHMT-BKHN
  • Sở thích:dota

Đã gửi 06-12-2015 - 18:28

6) trong 17 số thì toàn tại ít nhất 5 số có cùng số dư suy ra đây là 5 số cần tìm 

Nhỡ 4 số chia cho 5 dư 0; 4 số chia cho 5 dư 1; 4 số chia cho 5 dư 2; 4 số chia cho 5 dư 3; 1 số chia cho 5 dư 4 thì sao có phải tồn tại ít nhất 5 số có cùng số dư đâu bạn?



#7 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 06-12-2015 - 18:40

6)CMR: Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết cho 5

Nếu trong 17 số đã cho không tồn tại bất cứ số nào chia hết cho 5 thì 17 số đó chia 5 có 4 số dư. Như vậy, theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất 5 số có cùng số dư khi chia cho 5. Như vậy tổng của 5 số đó sẽ chia hết cho 5(giả sử 5 số đó đều dư k khi chia cho 5 thì 5 số đó sẽ đồng dư 5k đồng dư 0(mod 5)). Suy ra đpcm.

Nếu trong 17 số đó có 1 số chia hết cho 5 thì 17 số đó chia 5 dư 0,1,2,3,4,5. Khi đó, ta chỉ cần chọn 5 số có số dư đôi một khác nhau khi chia cho 5 là ra đpcm


$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#8 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 06-12-2015 - 19:23

1/ Dễ thấy, 1000 số đầu tiên sẽ có 1 số chia hết cho 1000. Giả sử số đó có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}000000.....}$.

Như vậy tổng các chữ số đó sẽ là n với n=$\sum_{i=1}^{n}a_{i}$

Xét các dãy số n,n+1,n+2,....,n+26. Trong dãy sẽ có 1 số chia hết cho 27. Suy ra đpcm.


$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#9 Trung Kenneth

Trung Kenneth

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Cao Xuân Huy
  • Sở thích:Thích gì cũng đc

Đã gửi 23-12-2015 - 20:56

Bài 3:

Chứng minh chia hết cho 6 dễ (vì P nt>7 => P lẻ)

 

Dễ dàng chứng minh được $3^p-2^p-1 \vdots 6$ 
Ta có $3^p-2^p-1=3^p+4^p-(4^p+2^p+1)$ chia hết cho $7$ 
Vì $(2^p-1)(4^p+2^p+1)=8^p-1$ chia hết cho $7$ 
Ta chứng minh $2^p-1$ ko chia hết cho $7$ bằng cách 
Xét $p=3k+1,3k+2$ 
Áp dụng định lí Fermat nhỏ : $3^p-3 \vdots p,2^p-2 \vdots p$ Suy ra đpcm 

Ở c/m $\vdots 7$ thì ta có:

Vì p nguyên tố nên p chia 6 dư 1 hoặc 5

Xét p=6k+1 => $$\left ( 3^{6} \right )^{k}.3 - \left ( 2^{6} \right )^{k}.2-1\equiv 3-2-1\equiv 0(mod7)$$

Xét p=6k+5=> P= $\left ( 3^{6} \right )^{k}.3^{5} - \left ( 2^{6} \right )^{k}.2^{5}-1\equiv 5-4-1\equiv 0(mod7)$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh