Chủ đề này có 139 trả lời

[Cuongpa]

Cho a,b,c là các số dương. Tìm GTNN của:

P=(a+b+c)($\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$)

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ :

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9$

Dấu $=$ xảy ra khi: $a=b=c$

[huykietbs]

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ :

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9$

Dấu $=$ xảy ra khi: $a=b=c$

Đây là topic của lớp 8 em mong anh làm theo cách của lớp 8 để cho những đứa như em có thể hiểu ạ. Em cám ơn anh ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykietbs: 18-01-2016 - 19:24

[tpdtthltvp]

Nếu m;n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m²+m=5n²+n thì:

m-n và 5m+5n+1 đều là số chính phương.

Vẫn tương tự thế thôi!

$4m^2+m=5n^2+n\Rightarrow 5m^2-5n^2+m-n=m^2\Rightarrow (m-n)(5m+5n+1)=m^2$

Rồi làm tương tự như anh $NTA$ nhé!

[huykietbs]

Vẫn tương tự thế thôi!

$4m^2+m=5n^2+n\Rightarrow 5m^2-5n^2+m-n=m^2\Rightarrow (m-n)(5m+5n+1)=m^2$

Rồi làm tương tự như anh $NTA$ nhé!

mình chủ quan quá ko để ý đến cách làm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykietbs: 18-01-2016 - 19:25

[tpdtthltvp]

 

Đề phải là $4m+4n+1$ là SCP nhé

Ta có:

$4m^{2}+m=5n^{2}+n$

$\Leftrightarrow 4(m^{2}-n^{2})+(m-n)=n^{2}$

$\Leftrightarrow (m-n)(4m+4n+1)=n^{2}$

Gọi $d=(m-n;4m+4n+1)$

$\Rightarrow m-n\vdots d, 4m+4n+1\vdots d$

$\Rightarrow n^{2}=(m-n)(4m+4n+1)\vdots d\Rightarrow n\vdots d$

Mà $m-n\vdots d nên m\vdots d$

$\Rightarrow 4m+4n\vdots d$

$\Rightarrow (4m+4n+1)-(4m+4n)\vdots d\Leftrightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow m-n$ và $4m+4n+1$ là các số nguyên tố cùng nhau

Đến đây xét 2 TH:

TH1: $m-n=1$ và $4m+4n+1=n^{2}$

TH2: $m-n=n^{2}$ và $4m+4n+1=1$

 

Mà sao $n^2\vdots d$ lại suy ra được $n\vdots d$ nhỉ?

[huykietbs]

Gọi $d=(m-n;4m+4n+1)$

 

 

tớ ko hiểu ở chỗ này, có ai giải thích giúp mình được ko? 

[tpdtthltvp]

tớ ko hiểu ở chỗ này, có ai giải thích giúp mình được ko? 

Đó là kí hiệu ƯCLN mà!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 14-01-2016 - 18:45

[huykietbs]

Đó là kí hiệu ƯCLN mà!

mình quên vì n²=n.n mà n² $\vdots$ d $\Rightarrow$ n $\vdots$ d, tớ thấy thế này hợp lí rồi mà

[tpdtthltvp]

mình quên vì n²=n.n mà n² $\vdots$ d $\Rightarrow$ n $\vdots$ d, tớ thấy thế này hợp lí rồi mà

Đấy dùng khi $d$ là số nguyên tố thôi, còn đây thì chưa chắc!

[NTA1907]

Đấy dùng khi $d$ là số nguyên tố thôi, còn đây thì chưa chắc!

Uk...có lẽ đoạn đó anh nhầm, để anh xem lại

[huykietbs]

Nếu m;n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m²+m=5n²+n thì:

m-n và 5m+5n+1 đều là số chính phương.

mọi người có thể xem cách làm tại đây:http://diendantoanho...1-là-các-số-ch/

[tronghoang23]

Áp dụng AM-GM : $x^{2}+y^{2}\geq2 \sqrt{x^{2}y^{2}}=2xy$

      => $x^{2}+y^{2}+\frac{2}{xy}\geq 2xy+\frac{2}{xy}\geq 2\sqrt{2xy.\frac{2}{xy}}=4$ ( lại áp dụng AM-GM lần nữa ) 

Ở đây bị thiếu 1 dấu "}"nên công thức không được hiện thị kìa

[tpdtthltvp]

1) Chứng minh $5.7^{2n+2}+2^{3n}$ chia hết cho $41$ với $n$ nguyên dương 
2) Chứng minh $19.8^n+17$ là hợp số với mọi số tự nhiên $n$ 
3) Chứng minh $n^n-n^2+n-1$ chia hết cho $(n-1)^2$ với $n \in Z^{+}$ 
4) Cho $\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-y}{b}=\frac{2x+2y-z}{c}$ . Chứng minh 
$\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y}{2a+2c-b}=\frac{z}{2a+2b-c}$ 

[I Love MC]

1) $VT \equiv 5.8^{n+1}+8^n=8^n.(5.8+1) \equiv 0 \pmod{41}$  
 

[I Love MC]

2) Anh lấy từ đề thi British 1976 : 
Xét 3 TH : 
TH1: $n$ chẵn thì $n$ chia $4$ dư $2$ hoặc $0$ thì ta đặt $n=2k$ thế thì ta có 
$VT \equiv 1+17 \equiv 0 \pmod{3}$ 
TH2 : $n=4k+3$ 
$19.8^{4k+3}+17 \equiv -1.1.8^3+17 \equiv 0 \pmod{5}$ 
TH3 : $n=4k+1$ 
$VT \equiv 6.1.8+17 \equiv \pmod{13}$ 
Suy ra $A$ là hợp số 

[I Love MC]

3) Với $n=2$ thì thỏa 
$n>2$ 
$n^n-n^2+n-1=(n-1)(n^{n-1}+...+n^2+1} \equiv (n-1)(-1+1+...+1+-1) \equiv 0 \pmod{(n-1)^2}$ 

[gianglqd]

1) Chứng minh $5.7^{2n+2}+2^{3n}$ chia hết cho $41$ với $n$ nguyên dương 
2) Chứng minh $19.8^n+17$ là hợp số với mọi số tự nhiên $n$ 
3) Chứng minh $n^n-n^2+n-1$ chia hết cho $(n-1)^2$ với $n \in Z^{+}$ 
4) Cho $\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-y}{b}=\frac{2x+2y-z}{c}$ . Chứng minh 
$\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y}{2a+2c-b}=\frac{z}{2a+2b-c}$ 

Bài 3: https://vn.answers.y...20012955AApvOLr

[I Love MC]

Vẫn tương tự thế thôi!

$4m^2+m=5n^2+n\Rightarrow 5m^2-5n^2+m-n=m^2\Rightarrow (m-n)(5m+5n+1)=m^2$

Rồi làm tương tự như anh $NTA$ nhé!

Ta có thể mở rộng bài toán . 
Cho $a,b$ là các số nguyên sao cho tồn tại $2$ số nguyên liên tiếp $c,d$ để 
$a-b=a^2c-b^2d$. C/m $|a-b|$ là scp 

[tpdtthltvp]

Còn bài 4 ạ?

[huykietbs]

Giải phương trình:

$\frac{1}{x-2008}$ + $\frac{1}{2x+2009}$=$\frac{1}{6x-2010}$ - $\frac{1}{3x-2011}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykietbs: 18-01-2016 - 18:32