Cho x,y,z là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{x^2}{z(z^2+x^2)}+\frac{y^2}{x(x^2+y^2)}+\frac{z^2}{y(y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)$
$P=\frac{x^2}{z(z^2+x^2)}+\frac{y^2}{x(x^2+y^2)}+\frac{z^2}{y(y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)$
Bắt đầu bởi bestmather, 04-12-2015 - 11:17
#1
Đã gửi 04-12-2015 - 11:17
bestmather
-
- Thành viên
-
- 203 Bài viết
Thượng sĩ
Trái tim nóng và cái đầu lạnh
#2
Đã gửi 05-12-2015 - 13:24
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho x,y,z là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{x^2}{z(z^2+x^2)}+\frac{y^2}{x(x^2+y^2)}+\frac{z^2}{y(y^2+z^2)}+2(x^2+y^2+z^2)$
Ta có $\frac{x^2}{z(x^2+z^2)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{x^2+z^2}\geqslant \frac{1}{z}-\frac{1}{2x}$
$\Rightarrow \sum \frac{x^2}{z(x^2+z^2)}\geqslant\sum \frac{1}{z}-\frac{1}{2x}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}$
$\Rightarrow P\geqslant \sum (\frac{1}{2x}+2x^2)=\sum (\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+2x^2)\geqslant 3.3\sqrt[3]{\frac{1}{4x}.\frac{1}{4x}.2x^2}=\frac{9}{2}$
- bestmather, Bonjour, gianglqd và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 05-12-2015 - 19:01
bestmather
-
- Thành viên
-
- 203 Bài viết
Thượng sĩ
Ta có $\frac{x^2}{z(x^2+z^2)}=\frac{1}{z}-\frac{z}{x^2+z^2}\geqslant \frac{1}{z}-\frac{1}{2x}$
$\Rightarrow \sum \frac{x^2}{z(x^2+z^2)}\geqslant\sum \frac{1}{z}-\frac{1}{2x}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}$
$\Rightarrow P\geqslant \sum (\frac{1}{2x}+2x^2)=\sum (\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+2x^2)\geqslant 3.3\sqrt[3]{\frac{1}{4x}.\frac{1}{4x}.2x^2}=\frac{9}{2}$
OMG! ! !
Trái tim nóng và cái đầu lạnh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
