Chủ đề này có 1 trả lời

[Quynh Le]

Giả sử $x \geq y \geq z > 0$. Chứng minh rằng

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y} \geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

[Quoc Tuan Qbdh]

Giả sử $x \geq y \geq z > 0$. Chứng minh rằng

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y} \geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Xét hiệu 

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y}-\frac{x^{2}z}{y}-\frac{y^{2}x}{z}-\frac{z^{2}y}{x}=\frac{(xy+yz+zx)(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz} \geq 0$

Suy ra :

$\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y} \geq \frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x}$

Suy ra

$(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})^{2} \geq (\frac{x^{2}z}{y}+\frac{y^{2}x}{z}+\frac{z^{2}y}{x})(\frac{x^{2}y}{z}+\frac{y^{2}z}{x}+\frac{z^{2}x}{y})$

$\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}(C-S)$

Bất đẳng thức được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 04-12-2015 - 20:09