Chủ đề này có 6 trả lời

[Noimon Jakuda]

Cho các số thực $a;b;c$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Chứng minh

$a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b) \leq 6$

[fairytail19061]

$a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)\leq 6$
$\Leftrightarrow a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)\leq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})+4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geq 3ab(a^{2}+b^{2})+3bc(b^{2}+c^{2})+3ac(a^{2}+c^{2})$
$\Leftrightarrow \sum (a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2})\geq 3ab(a^{2}+b^{2})$
$\Leftrightarrow \sum ((a-b)^{4}+ab(a-b)^{2})\geq 0$  ( đúng với mọi a,b,c thực )
Đẳng thức xảy ra chỉ khi a = b =c
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fairytail19061: 05-12-2015 - 21:13

[hoilamchi]

$a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)\leq 6$
$\Leftrightarrow a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)\leq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})+4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\geq 3ab(a^{2}+b^{2})+3bc(b^{2}+c^{2})+3ac(a^{2}+c^{2})$
$\Leftrightarrow \sum (a^{4}+b^{4}+4a^{2}b^{2})\geq 3ab(a^{2}+b^{2})$
$\Leftrightarrow \sum ((a-b)^{4}+ab(a-b)^{2})\geq 0$  ( đúng với mọi a,b,c thực )
Đẳng thức xảy ra chỉ khi a = b =c
 

Cách của bạn hay thật,ngắn gọn súc tích 

Nhưng mà mình không hiểu ý tưởng nào để bạn chuyển $6= \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ vậy 

[royal1534]

Cách của bạn hay thật,ngắn gọn súc tích 

Nhưng mà mình không hiểu ý tưởng nào để bạn chuyển $6= \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ vậy 

Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đồng bậc đó bạn 

[hoilamchi]

Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đồng bậc đó bạn 

Bạn nói rõ hơn được không,đồng bậc như thế nào?

[royal1534]

Bạn nói rõ hơn được không,đồng bậc như thế nào?

Thường thì ta quy bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đồng bậc,sau đó biến đổi $\rightarrow$ đpcm.Như trên là quy về bậc 4

[fairytail19061]

Bài này có trong rất nhiều tài liệu và hầu hết dạng này đều đưa về bất đẳng thức thuần nhất. Trong bài trên thì áp dụng hệ số đưa bđt thành thuần nhất bậc 4 mà hầy hết nếu đưa về thuần nhất thì rất có thể biến đổi tương đương cũng dễ hiểu thui. Nói chung bạn có thể tham khảo nhiều tài liệu khác về bất đẳng thức đối xứng hoặc thuần nhất đều sẽ có những dạng bài này và chắc chắn sẽ gặp đúng bài này luôn