Chủ đề này có 1 trả lời

[nxhoang99]

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d: x-2y+1=0 và d': x+y-2=0. Viết phương trình đường thẳng delta đi qua giao điểm của hai đt d và d' sao cho khoảng cách từ điểm M(3:2) đến đường thẳng delta là lớn nhất

[Vito Khang Scaletta]

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d: x-2y+1=0 và d': x+y-2=0. Viết phương trình đường thẳng delta đi qua giao điểm của hai đt d và d' sao cho khoảng cách từ điểm M(3:2) đến đường thẳng delta là lớn nhất

Giao điểm $N(x;y)$ của $d$ và $d'$ thỏa hệ $\left\{\begin{matrix} x-2y=-1 \\ x+y=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow N(1;1)$

Gọi phương trình đường thẳng có dạng $\Delta:ax+by+c=0$

Ta có $N(1;1)\in \Delta \Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow c=-a-b$

Khi đó, phương trình đường thẳng trở thành $\Delta: ax+by-a-b=0$

Gọi $N'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\Delta$, hiển nhiên $d(M;\Delta)=MN'\leq MN$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow N'\equiv N\Leftrightarrow d(M;\Delta )=MN\Leftrightarrow \frac{|3a+2b-a-b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow (2a+b)^{2}=5a^{2}+5b^{2}\Leftrightarrow a^{2}-4ab+4b^{2}=0\Leftrightarrow (a-2b)^2=0\Leftrightarrow a=2b$

$*$ Với $b=0$ thì $a=0$ (loại vì $a^{2}+b^{2}> 0$)

$*$ Với $b\neq 0$, ta thay vào phương trình $\Delta$, ta được $\Delta:2bx+by-3b=0$

Do $b\neq0$ nên ta chia phương trình trên cho $b$.

Vậy, phương trình cần tìm là $\Delta: 2x+y-3=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vito Khang Scaletta: 12-12-2015 - 23:13