Chứng minh với mọi số thực $x;y;z$ thì :
$ \sum x^{6} + x^{2}y^{2}z^{2} \geq \frac{2}{3} \sum x^{5}(y+z)$
Chứng minh với mọi số thực $x;y;z$ thì :
$ \sum x^{6} + x^{2}y^{2}z^{2} \geq \frac{2}{3} \sum x^{5}(y+z)$
Chứng minh với mọi số thực $x;y;z$ thì :
$ \sum x^{6} + x^{2}y^{2}z^{2} \geq \frac{2}{3} \sum x^{5}(y+z)$
Bổ đề : Với mọi số thực không âm $a;b;c$ ta có :
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$
Cách chứng minh 1 :
Bổ đề tương đương $a(a-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-b)(c-a)\geq 0$ ( đúng theo BĐT $Schur$ )
Cách chứng minh 2 :
Giả sử $a \geq b \geq c$
Đặt $x=a-b,y=b-c$
Bất đẳng thức được viết lại thành
$c(x+y)y-(c+y)xy+(c+x+y)x(x+y) \geq 0$
$<=>c(x^{2}+xy+y^{2})+x^{2}(x+2y) \geq 0$ ( hiển nhiên đúng vì $c;x;y$ không âm )
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0$ hoặc $x=c=0$
Hay $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị
Áp dụng bổ đề với $x^{2};y^{2};z^{2}$ ta có :
$\sum x^{6} + 3 x^{2}y^{2}z^{2} \geq \sum x^{4}(y^{2}+z^{2})$
Suy ra $ 3 \sum x^{6} + 3 x^{2}y^{2}z^{2} \geq 2 \sum x^{6} + \sum x^{4}(y^{2}+z^{2})$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ thì :
$(x^{6}+x^{4}y^{2})+(x^{6}+x^{4}z^{2}) \geq 2x^{5}y+2x^{5}z=2x^{5}(y+z)$
Tương tự thì
$(y^{6}+y^{4}z^{2})+(y^{6}+y^{4}x^{2}) \geq 2y^{5}(z+x)$
$(z^{6}+z^{4}x^{2})+(z^{6}+z^{4}y^{2}) \geq 2z^{5}(x+y)$
Suy ra : $ 2 \sum x^{6} + \sum x^{4}(y^{2}+z^{2}) \geq 2 \sum x^{5}(y+z)$
Bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng khi $x=y=z$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 05-12-2015 - 22:25
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh