Đến nội dung

Hình ảnh

$ \sum x^{6} + x^{2}y^{2}z^{2} \geq \frac{2}{3} \sum x^{5}(y+z)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Quynh Le

Quynh Le

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Chứng minh với mọi số thực $x;y;z$ thì :

$ \sum x^{6} + x^{2}y^{2}z^{2} \geq \frac{2}{3} \sum x^{5}(y+z)$



#2
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

Chứng minh với mọi số thực $x;y;z$ thì :

$ \sum x^{6} + x^{2}y^{2}z^{2} \geq \frac{2}{3} \sum x^{5}(y+z)$

Bổ đề : Với mọi số thực không âm $a;b;c$ ta có :

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$

Cách chứng minh 1 : 

Bổ đề tương đương $a(a-c)(a-b)+b(b-a)(b-c)+c(c-b)(c-a)\geq 0$ ( đúng theo BĐT $Schur$ )

Cách chứng minh 2 :

Giả sử $a \geq b \geq c$ 

Đặt $x=a-b,y=b-c$

Bất đẳng thức được viết lại thành

$c(x+y)y-(c+y)xy+(c+x+y)x(x+y) \geq 0$

$<=>c(x^{2}+xy+y^{2})+x^{2}(x+2y) \geq 0$ ( hiển nhiên đúng vì $c;x;y$ không âm )

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0$ hoặc $x=c=0$

Hay $a=b=c$ hoặc $a=b,c=0$ và các hoán vị

 

Áp dụng bổ đề với $x^{2};y^{2};z^{2}$ ta có :

$\sum x^{6} + 3 x^{2}y^{2}z^{2} \geq \sum x^{4}(y^{2}+z^{2})$

Suy ra $ 3 \sum x^{6} + 3 x^{2}y^{2}z^{2} \geq 2 \sum x^{6} + \sum x^{4}(y^{2}+z^{2})$ 

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ thì :

$(x^{6}+x^{4}y^{2})+(x^{6}+x^{4}z^{2}) \geq 2x^{5}y+2x^{5}z=2x^{5}(y+z)$

Tương tự thì 

$(y^{6}+y^{4}z^{2})+(y^{6}+y^{4}x^{2}) \geq 2y^{5}(z+x)$

$(z^{6}+z^{4}x^{2})+(z^{6}+z^{4}y^{2}) \geq 2z^{5}(x+y)$

 

Suy ra : $ 2 \sum  x^{6} + \sum x^{4}(y^{2}+z^{2}) \geq  2 \sum x^{5}(y+z)$

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng khi $x=y=z$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 05-12-2015 - 22:25





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh