Cho $x,y,z>0: x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\dfrac{x}{xy+1}+\dfrac{y}{yz+1}+\dfrac{z}{zx+1}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thangk56btoantin: 05-12-2015 - 23:56
Cho $x,y,z>0: x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\dfrac{x}{xy+1}+\dfrac{y}{yz+1}+\dfrac{z}{zx+1}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thangk56btoantin: 05-12-2015 - 23:56
Cho $x,y,z>0: x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\dfrac{x}{xy+1}+\dfrac{y}{yz+1}+\dfrac{z}{zx+1}$$
Trước hết ta có một bổ đề quen thuộc:
Với x,y,z>0 thì $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$
Chứng minh:
$(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$
$\leftrightarrow \frac{1}{2}\sum(x^{2}-y^{2}-xy+2yz-zx)^{2} \geq 0$ :Đúng
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$
Trở lại bài toán ta có
$P=\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}=x+y+z-\sum \frac{x^{2}y}{xy+1} \geq 3-\sum \frac{x^{2}y}{2\sqrt{xy}}=3-\sum \frac{x\sqrt{xy}}{2}$
Áp dụng bổ đề đặt $\sqrt{x}=a; \sqrt{y}=b ;\sqrt{z}=c \rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
Ta có $\sum x\sqrt{xy} =a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}=3$
$\rightarrow P \geq 3-\sum \frac{x\sqrt{xy}}{2} \geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$
Vậy $MinP=\frac{3}{2} \leftrightarrow x=y=z=1$
P/s:Đang bế tắc thì gặp ngay bổ đề
Trước hết ta có một bổ đề quen thuộc:
Với x,y,z>0 thì $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$
cm bổ đề kĩ xíu dc k bạn? mình chưa rõ lăm.
Điều gì đang cản trở bạn?LÀ CHÍNH BẠN !. Hãy thể hiện niềm đam mê của mình " Chỉ cần Bước đi và Tìm kiếm nó"
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh