Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $x,y,z>0: x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{a}{ab+1}+\dfrac{b}{bc+1}+\dfrac{c}{ca+1}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
thangk56btoantin

thangk56btoantin

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Cho $x,y,z>0: x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=\dfrac{x}{xy+1}+\dfrac{y}{yz+1}+\dfrac{z}{zx+1}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thangk56btoantin: 05-12-2015 - 23:56


#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Cho $x,y,z>0: x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=\dfrac{x}{xy+1}+\dfrac{y}{yz+1}+\dfrac{z}{zx+1}$$

Trước hết ta có một bổ đề quen thuộc:

Với x,y,z>0 thì $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$

 

Chứng minh:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$

$\leftrightarrow \frac{1}{2}\sum(x^{2}-y^{2}-xy+2yz-zx)^{2} \geq 0$ :Đúng 

Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$

Trở lại bài toán ta có 

$P=\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{yz+1}+\frac{z}{zx+1}=x+y+z-\sum \frac{x^{2}y}{xy+1} \geq 3-\sum \frac{x^{2}y}{2\sqrt{xy}}=3-\sum \frac{x\sqrt{xy}}{2}$

Áp dụng bổ đề đặt $\sqrt{x}=a; \sqrt{y}=b ;\sqrt{z}=c \rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Ta có $\sum x\sqrt{xy} =a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a \leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}=3$

$\rightarrow P \geq 3-\sum \frac{x\sqrt{xy}}{2} \geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy $MinP=\frac{3}{2} \leftrightarrow x=y=z=1$

P/s:Đang bế tắc thì gặp ngay bổ đề :D



#3
robot3d

robot3d

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 243 Bài viết

Trước hết ta có một bổ đề quen thuộc:

Với x,y,z>0 thì $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$

 

cm bổ đề kĩ xíu dc k bạn? mình chưa rõ lăm.  :(


:luoi Điều gì đang cản trở bạn?LÀ CHÍNH BẠN !. Hãy thể hiện niềm đam mê của mình " Chỉ cần Bước đi và Tìm kiếm nó" :luoi 


#4
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
bổ đề được cm tại

#5
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
tải về coi chứng minh bằng bđt C-S

#6
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
quên đính kèm srry spam nhé File gửi kèm  Ve bai toan British MO 1986.pdf   159.45K   154 Số lần tải




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh