Chủ đề này có 6 trả lời

[suresuccess]

1)Cho a, b ,c dương. Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^{2}+bc}\geq 9$

2) Cho a, b, c dương Chứng minh: $\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$

[Quoc Tuan Qbdh]

 

2) Cho a, b, c dương Chứng minh: $\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$

Bổ đề

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq \frac{2}{3}(ab+bc+cd+da+ac+bd)$

Chứng minh

Bổ đề tương đương với : 

$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-d)^{2}+(d-a)^{2}+(c-a)^{2}+(b-d)^{2} \geq 0$ ( hiển nhiên đúng )

Dấu bằng khi $a=b=c=d$

 

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có :

$\sum \frac{a}{b+2c+3d}=\frac{a^{2}}{ab+2ca+3da} \geq \frac{(\sum a)^{2}}{4(ab+bc+cd+da+ac+bd)}$

 

Mặt khác theo Bổ đề :

$(\sum a)^{2}= \sum a^{2} + 2(ab+bc+cd+da+ac+bd) \geq \frac{8}{3}(ab+bc+cd+da+ac+bd)$

Bất đẳng thức được chứng minh . 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d$

[suresuccess]

Ban nào con cach khac ko a? Chi minh voi Cam on ban dragonboy da dong gop cho minh mot loi giai!

[anhminhnam]

câu 1 hẳn là có vấn đề @@

[tcqang]

Bài 1 rõ là đề sai khi a = b = c = 1.

Bài 2. Cách 2, dùng phép đổi biến để thành bài toán đơn giản. Đặt:

b + 2c + 3d = 6x

c + 2d + 3a = 6y

d + 2a + 3b = 6z

a + 2b + 3c = 6t

thì suy ngược lại ta được: (dùng hệ số bất định để tìm ngược lại a, b, c, d. Hoặc có thể dùng phép biến đổi Gauss tìm ma trận nghịch đảo)

a = (-5x + 7y + z + t)/4

b = (-5y + 7z + t + x)/4

c = (-5z + 7t + x + y)/4

d = (-5t + 7x + y + z)/4

Từ đó VT = 1/24 . [ 7(x/t + t/z + z/y + y/x) + (x/y + y/z + z/t + t/x) + (x/z + z/x + y/t + t/y) - 20 ]  

               $\geq$ $\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 18-12-2015 - 01:26

[Gachdptrai12]

cách bạn tcquang tuy dễ nhưng chưa chắc ai để ý tới :v

[Augustin Louis Cauchy III]

1)Cho a, b ,c dương. Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^{2}+bc}\geq 9$

2) Cho a, b, c dương Chứng minh: $\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$

1) Có thể đề như thế này : 

$(\sum ab)(\sum \frac{1}{a^{2}+bc})\geq 3+\frac{12abc}{\prod (a^{2}+bc)}$ với mọi $a,b,c>0$