1)Cho a, b ,c dương. Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^{2}+bc}\geq 9$
2) Cho a, b, c dương Chứng minh: $\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$
1)Cho a, b ,c dương. Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^{2}+bc}\geq 9$
2) Cho a, b, c dương Chứng minh: $\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$
2) Cho a, b, c dương Chứng minh: $\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$
Bổ đề
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \geq \frac{2}{3}(ab+bc+cd+da+ac+bd)$
Chứng minh
Bổ đề tương đương với :
$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-d)^{2}+(d-a)^{2}+(c-a)^{2}+(b-d)^{2} \geq 0$ ( hiển nhiên đúng )
Dấu bằng khi $a=b=c=d$
Áp dụng BĐT $C-S$ ta có :
$\sum \frac{a}{b+2c+3d}=\frac{a^{2}}{ab+2ca+3da} \geq \frac{(\sum a)^{2}}{4(ab+bc+cd+da+ac+bd)}$
Mặt khác theo Bổ đề :
$(\sum a)^{2}= \sum a^{2} + 2(ab+bc+cd+da+ac+bd) \geq \frac{8}{3}(ab+bc+cd+da+ac+bd)$
Bất đẳng thức được chứng minh .
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d$
câu 1 hẳn là có vấn đề @@
Nếu bạn muốn đến nơi cao nhất, phải học cách bắt đầu từ nơi thấp nhất!
Bài 1 rõ là đề sai khi a = b = c = 1.
Bài 2. Cách 2, dùng phép đổi biến để thành bài toán đơn giản. Đặt:
b + 2c + 3d = 6x
c + 2d + 3a = 6y
d + 2a + 3b = 6z
a + 2b + 3c = 6t
thì suy ngược lại ta được: (dùng hệ số bất định để tìm ngược lại a, b, c, d. Hoặc có thể dùng phép biến đổi Gauss tìm ma trận nghịch đảo)
a = (-5x + 7y + z + t)/4
b = (-5y + 7z + t + x)/4
c = (-5z + 7t + x + y)/4
d = (-5t + 7x + y + z)/4
Từ đó VT = 1/24 . [ 7(x/t + t/z + z/y + y/x) + (x/y + y/z + z/t + t/x) + (x/z + z/x + y/t + t/y) - 20 ]
$\geq$ $\frac{2}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tcqang: 18-12-2015 - 01:26
Tìm lại đam mê một thời về Toán!
cách bạn tcquang tuy dễ nhưng chưa chắc ai để ý tới :v
1)Cho a, b ,c dương. Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^{2}+bc}\geq 9$
2) Cho a, b, c dương Chứng minh: $\sum \frac{a}{b+2c+3d}\geq \frac{2}{3}$
1) Có thể đề như thế này :
$(\sum ab)(\sum \frac{1}{a^{2}+bc})\geq 3+\frac{12abc}{\prod (a^{2}+bc)}$ với mọi $a,b,c>0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh