Chủ đề này có 1 trả lời

[quanguefa]

Cho a, b, c dương thỏa mãn $a>\frac{4}{3}$, $a+b+c>4$ và $(a+b)(a+c)=4a^{2}$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{2}{9a-12}+\frac{\sqrt{7a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{3(a+b+c-4)}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 10-12-2015 - 18:58

[quan1234]

Cho a, b, c dương thỏa mãn $a>\frac{4}{3}$, $a+b+c>4$ và $(a+b)(a+c)=4a^{2}$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{2}{9a-12}+\frac{\sqrt{7a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{3(a+b+c-4)}+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+4}$

$(a+b)(a+c)=4a^2\Rightarrow 3a^2=ab+bc+ac$

Ta có những đánh giá sau:

$7a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2\Rightarrow \sqrt{7a^2+b^2+c^2}=a+b+c$

Theo C-S $\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}\geq \frac{a+b+c+2}{2}$

$3a^2=ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\Leftrightarrow 9a^2\leq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 3a\leq a+b+c\Rightarrow \frac{2}{9a-12}\geq \frac{2}{3(a+b+c)-12}$

Từ những đánh giá trên thay vào $P$, ta được

$P\geq \frac{2+a+b+c}{3(a+b+c)-12}+\frac{a+b+c+2}{2}$

Đặt $t=a+b+c (t>4)$ ta đc

$P\geq \frac{2+t}{3t-12}+\frac{t+2}{2}$

Đến đây chỉ cần khảo sát $P$ là ra