Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$A_1B_1^2+B_2C_2^2+A_3C_3^2 \geq 6r^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 riddle???

riddle???

    24724345310

  • Thành viên
  • 688 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:???

Đã gửi 10-05-2006 - 20:39

Trong tam giác $ABC$, có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Qua $I$, kẻ các đường thẳng $l_1,l_2,l_3$ lần lượt song song với các cạnh $AB, BC, CA$. Giả sử $l_1$ cắt $BC,CA$ lần lượt tại $B_1,A_1$; $l_2$ cắt $CA, AB$ lần lượt tại $C_2,B_2$;  $l_3$ cắt $AB, BC$ lần lượt tại $A_3,C_3$. Chứng minh rằng:

$$A_1B_1^2+B_2C_2^2+A_3C_3^2 \geq 6r^2$$

Trong đó, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 28-11-2013 - 01:24

  • LNH yêu thích

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1901 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 28-11-2013 - 09:14

Trong tam giác $ABC$, có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Qua $I$, kẻ các đường thẳng $l_1,l_2,l_3$ lần lượt song song với các cạnh $AB, BC, CA$. Giả sử $l_1$ cắt $BC,CA$ lần lượt tại $B_1,A_1$; $l_2$ cắt $CA, AB$ lần lượt tại $C_2,B_2$;  $l_3$ cắt $AB, BC$ lần lượt tại $A_3,C_3$. Chứng minh rằng:

$$A_1B_1^2+B_2C_2^2+A_3C_3^2 \geq 6r^2$$

Trong đó, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Kẻ $IM,IN,IP$ lần lượt vuông góc với $AB,BC,CA$ ($M\in AB;N\in BC;P\in CA$) ---> $IM=IN=IP=r$.

Ta có : 

$IA_{1}\geqslant IP=r$ (1)

$IB_{1}\geqslant IN=r$ (2)

Dấu bằng ở (1) và (2) không thể xảy ra đồng thời (vì các góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{ABC}$ không thể cùng bằng $90^o$).Do đó suy ra : 

$A_{1}B_{1}=IA_{1}+IB_{1}> IP+IN=2r$

$\Rightarrow A_{1}B_{1}^2> (2r)^2=4r^2$ (3)

Tương tự cũng chứng minh được :

$B_{2}C_{2}^2> 4r^2$ (4)

Và $A_{3}C_{3}^2> 4r^2$ (5)

Từ (3),(4) và (5) suy ra $A_{1}B_{1}^2+B_{2}C_{2}^2+A_{3}C_{3}^2> 12r^2> 6r^2$

Vậy ta có : $A_{1}B_{1}^2+B_{2}C_{2}^2+A_{3}C_{3}^2> 6r^2$

(Dấu bằng không bao giờ xảy ra nếu không xét đến trường hợp $\Delta ABC$ là một " tam giác điểm ", tức là có $3$ đỉnh trùng nhau và $r=0$)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh