Trong tam giác $ABC$, có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Qua $I$, kẻ các đường thẳng $l_1,l_2,l_3$ lần lượt song song với các cạnh $AB, BC, CA$. Giả sử $l_1$ cắt $BC,CA$ lần lượt tại $B_1,A_1$; $l_2$ cắt $CA, AB$ lần lượt tại $C_2,B_2$; $l_3$ cắt $AB, BC$ lần lượt tại $A_3,C_3$. Chứng minh rằng:
$$A_1B_1^2+B_2C_2^2+A_3C_3^2 \geq 6r^2$$
Trong đó, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$
Kẻ $IM,IN,IP$ lần lượt vuông góc với $AB,BC,CA$ ($M\in AB;N\in BC;P\in CA$) ---> $IM=IN=IP=r$.
Ta có :
$IA_{1}\geqslant IP=r$ (1)
$IB_{1}\geqslant IN=r$ (2)
Dấu bằng ở (1) và (2) không thể xảy ra đồng thời (vì các góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{ABC}$ không thể cùng bằng $90^o$).Do đó suy ra :
$A_{1}B_{1}=IA_{1}+IB_{1}> IP+IN=2r$
$\Rightarrow A_{1}B_{1}^2> (2r)^2=4r^2$ (3)
Tương tự cũng chứng minh được :
$B_{2}C_{2}^2> 4r^2$ (4)
Và $A_{3}C_{3}^2> 4r^2$ (5)
Từ (3),(4) và (5) suy ra $A_{1}B_{1}^2+B_{2}C_{2}^2+A_{3}C_{3}^2> 12r^2> 6r^2$
Vậy ta có : $A_{1}B_{1}^2+B_{2}C_{2}^2+A_{3}C_{3}^2> 6r^2$
(Dấu bằng không bao giờ xảy ra nếu không xét đến trường hợp $\Delta ABC$ là một " tam giác điểm ", tức là có $3$ đỉnh trùng nhau và $r=0$)