Đến nội dung

Hình ảnh

$A_1B_1^2+B_2C_2^2+A_3C_3^2 \geq 6r^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
riddle???

riddle???

    24724345310

  • Thành viên
  • 688 Bài viết

Trong tam giác $ABC$, có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Qua $I$, kẻ các đường thẳng $l_1,l_2,l_3$ lần lượt song song với các cạnh $AB, BC, CA$. Giả sử $l_1$ cắt $BC,CA$ lần lượt tại $B_1,A_1$; $l_2$ cắt $CA, AB$ lần lượt tại $C_2,B_2$;  $l_3$ cắt $AB, BC$ lần lượt tại $A_3,C_3$. Chứng minh rằng:

$$A_1B_1^2+B_2C_2^2+A_3C_3^2 \geq 6r^2$$

Trong đó, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 28-11-2013 - 01:24

  • LNH yêu thích

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Trong tam giác $ABC$, có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Qua $I$, kẻ các đường thẳng $l_1,l_2,l_3$ lần lượt song song với các cạnh $AB, BC, CA$. Giả sử $l_1$ cắt $BC,CA$ lần lượt tại $B_1,A_1$; $l_2$ cắt $CA, AB$ lần lượt tại $C_2,B_2$;  $l_3$ cắt $AB, BC$ lần lượt tại $A_3,C_3$. Chứng minh rằng:

$$A_1B_1^2+B_2C_2^2+A_3C_3^2 \geq 6r^2$$

Trong đó, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Kẻ $IM,IN,IP$ lần lượt vuông góc với $AB,BC,CA$ ($M\in AB;N\in BC;P\in CA$) ---> $IM=IN=IP=r$.

Ta có : 

$IA_{1}\geqslant IP=r$ (1)

$IB_{1}\geqslant IN=r$ (2)

Dấu bằng ở (1) và (2) không thể xảy ra đồng thời (vì các góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{ABC}$ không thể cùng bằng $90^o$).Do đó suy ra : 

$A_{1}B_{1}=IA_{1}+IB_{1}> IP+IN=2r$

$\Rightarrow A_{1}B_{1}^2> (2r)^2=4r^2$ (3)

Tương tự cũng chứng minh được :

$B_{2}C_{2}^2> 4r^2$ (4)

Và $A_{3}C_{3}^2> 4r^2$ (5)

Từ (3),(4) và (5) suy ra $A_{1}B_{1}^2+B_{2}C_{2}^2+A_{3}C_{3}^2> 12r^2> 6r^2$

Vậy ta có : $A_{1}B_{1}^2+B_{2}C_{2}^2+A_{3}C_{3}^2> 6r^2$

(Dấu bằng không bao giờ xảy ra nếu không xét đến trường hợp $\Delta ABC$ là một " tam giác điểm ", tức là có $3$ đỉnh trùng nhau và $r=0$)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh