Cho ma trận $A,B,C$ là các ma trận vuông cấp $n$ sao cho $C$ giao hoán với $A$ và $B$, $C^2=I_n$ và:
$AB=2(A+B)C$. Chứng minh:
1. $AB=BA$ .
2. cho thêm điều kiện $A+B+C=0$. Chứng minh: $rank(A-C)+rank(B-C)=n$.
Đặt ${A}_1= AC, \, {B}_1=BC$, ta có
$\begin{cases} A_1B_1=-2I_n,\\ A_1+B_1=-I_n. \end{cases}$
Do $C$ khả nghịch nên điều cần tương đương $rank(A_1-I_n)+rank(B_1-I_n)=n.$
Đặt $B_2= B_1-I_n, A_2= A_1-I_n,$ ta có
$\begin{cases} A_2B_2=\mathbf{0},\\ A_2+B_2=-3I_n. \end{cases}$
Đặt $V, W$ lần lượt là không gian dòng $A_2, B_2$, ta có
$dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(V\bigcap W).$
Vì $n \ge dim(V+W) \ge rank(A_2+B_2)=n$ nên $dim(V+W) =n$.
Do đó $dim(V)+dim(W)\ge n$ hay $rank(A_2)+ran(B_2)\ge n.$
Mặt khác, vì $A_2B_2=\mathbf{0}$ nên $Im(B_2) \subset Ker(A_2)$ (tạm ký hiệu: không gian nghiệm của $A_2X=\mathbf{0}.$)
Suy ra $rank(B_2) \le n- rank(A_2).$
Vậy $$rank(A_2)+ran(B_2)= n.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 14-12-2015 - 22:59