Chủ đề này có 2 trả lời

[quocbaolqd11]

Cho ma trận $A,B,C$ là các ma trận vuông cấp $n$ sao cho $C$ giao hoán với $A$ và $B$, $C^2=I_n$ và:
$AB=2(A+B)C$. Chứng minh:
1. $AB=BA$ .
2. cho thêm điều kiện $A+B+C=0$. Chứng minh: $rank(A-C)+rank(B-C)=n$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quocbaolqd11: 10-12-2015 - 19:37

[An Infinitesimal]

Cho ma trận $A,B,C$ là các ma trận vuông cấp $n$ sao cho $C$ giao hoán với $A$ và $B$, $C^2=I_n$ và:
$AB=2(A+B)C$. Chứng minh:
1. $AB=BA$ .
2. cho thêm điều kiện $A+B+C=0$. Chứng minh: $rank(A-C)+rank(B-C)=n$.

C/m 1) rất quen thuộc bằng cách mô phỏng lại c/m cho bài toán gần gũi, nếu $A, B$  là hai ma trận thỏa $A+B=AB$ thì $AB=BA$. 

 

$A(B-2C)= 2BC=2CB-4C^2+4C^2= 2C(B-2C)+4I_n$

Suy ra $(A-2C)(B-2C)= 4I_n$.

 

Lưu ý: Với $D, X\in M_n$ thỏa $DX=I_n$ thì $XD=I_n$.

 

Do đó

$$(A-2C)(B-2C)=(B-2C)(A-2C).$$

Suy ra $AB=BA.$

[An Infinitesimal]

Cho ma trận $A,B,C$ là các ma trận vuông cấp $n$ sao cho $C$ giao hoán với $A$ và $B$, $C^2=I_n$ và:
$AB=2(A+B)C$. Chứng minh:
1. $AB=BA$ .
2. cho thêm điều kiện $A+B+C=0$. Chứng minh: $rank(A-C)+rank(B-C)=n$.

 

Đặt ${A}_1= AC, \, {B}_1=BC$, ta có

$\begin{cases} A_1B_1=-2I_n,\\ A_1+B_1=-I_n. \end{cases}$

Do $C$ khả nghịch nên điều cần tương đương $rank(A_1-I_n)+rank(B_1-I_n)=n.$

 

Đặt $B_2=  B_1-I_n,  A_2= A_1-I_n,$ ta có

$\begin{cases} A_2B_2=\mathbf{0},\\ A_2+B_2=-3I_n. \end{cases}$

Đặt $V, W$ lần lượt là không gian dòng $A_2, B_2$, ta có

$dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(V\bigcap W).$

 

Vì $n \ge dim(V+W) \ge rank(A_2+B_2)=n$ nên $dim(V+W) =n$.

Do đó $dim(V)+dim(W)\ge n$ hay $rank(A_2)+ran(B_2)\ge n.$

 

 

Mặt khác, vì $A_2B_2=\mathbf{0}$ nên $Im(B_2) \subset Ker(A_2)$ (tạm ký hiệu: không gian nghiệm của $A_2X=\mathbf{0}.$) 

Suy ra $rank(B_2) \le n- rank(A_2).$

 

Vậy $$rank(A_2)+ran(B_2)= n.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 14-12-2015 - 22:59