Chủ đề này có 2 trả lời

[nuoccam]

Cho a,b,c > 0 và abc=1.CMR:

$\sum \frac{a+3}{(a+1)^2} \geq 3$

[hoanglong2k]

Cho a,b,c > 0 và abc=1.CMR:

$\sum \frac{a+3}{(a+1)^2} \geq 3$

 

 Ta có $\sum \dfrac{a+3}{(a+1)^2}=\sum \dfrac{1}{a+1}+2\sum \dfrac{1}{(a+1)^2}$

 Chú ý là $\sum \dfrac{1}{a+1}=\dfrac{\sum bc+2\sum b+3}{\sum bc+\sum b+2}=1+\dfrac{\sum b+1}{\sum bc+\sum b+2}\geq 1+\dfrac{2(a+b+c)+2}{(a+b+c+1)^2}=1+\dfrac{2}{a+b+c+1}$

 Lại có $\dfrac{1}{(a+1)^2}+\dfrac{1}{(b+1)^2}\geq \dfrac{1}{1+ab}=\dfrac{c}{c+1}$

 Nên ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{1}{a+b+c+1}+\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{(c+1)^2}\geq 1$

                                            $\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+b+c+1}\geq \dfrac{c}{(c+1)^2}$

                                            $\Leftrightarrow a+b\leq \dfrac{c+1}{c}=1+\dfrac{1}{c}=1+ab\Leftrightarrow (a-1)(b-1)\geq 0$

 Điều này hoàn toàn có thể giả sử bằng nguyên lí Dirichlet

 Từ đó ta có điều phải chứng minh. 

 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

[Gachdptrai12]

đây là uk tst năm 2005 nhé có 3 cách làm