Chủ đề này có 3 trả lời

[mathlove2015]

Mấy anh chị giải giúp em bài bất đẳng thức này với

Cho a, b, c là 3 số thực dương và abc=1, chứng minh rằng:

 

$\frac{{{a^4}}}{{b + 3c}} + \frac{{{b^4}}}{{c + 3a}} + \frac{{{c^4}}}{{a + 3b}} \ge \frac{1}{4}\left( {a + b + c} \right)$
 

Cảm ơn

[NTA1907]

Đã có ở đây

http://diendantoanho...b-geq-fracabc4/

[Quoc Tuan Qbdh]

Mấy anh chị giải giúp em bài bất đẳng thức này với

Cho a, b, c là 3 số thực dương và abc=1, chứng minh rằng:

 

$\frac{{{a^4}}}{{b + 3c}} + \frac{{{b^4}}}{{c + 3a}} + \frac{{{c^4}}}{{a + 3b}} \ge \frac{1}{4}\left( {a + b + c} \right)$
 

Cảm ơn

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có :

$\sum \frac{a^{4}}{b+3c} \geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)}$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có :

$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}=3$

Áp dụng BĐT $C-S$ ta có

$\frac{a^{2}}{1}+\frac{b^{2}}{1}+\frac{c^{2}}{1} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$

Suy ra : $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 3.\frac{(a+b+c)^{2}}{3}=(a+b+c)^{2}$

Suy ra :

$\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{4(a+b+c)} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{4(a+b+c)}=\frac{1}{4}(a+b+c)$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 10-12-2015 - 21:54

[mathlove2015]

Đã có ở đây

http://diendantoanho...b-geq-fracabc4/

 

Cảm ơn anh. Nhưng cho em hỏi có cách nào dùng Cauchy trực tiếp mà k dùng bunhiacoski không? Cảm ơn.