Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $A',B',C'$ thẳng hàng.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 riddle???

riddle???

    24724345310

  • Thành viên
  • 688 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:???

Đã gửi 10-05-2006 - 21:08

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H,M$ thuộc tam giác. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AM$ cắt $BC$ tại $A'$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $BM$ cắt $CA$ tại $B'$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $CM$ cắt $AB$ tại $C'$. Chứng minh $A',B',C'$ thẳng hàng.



#2 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 14-08-2013 - 10:12

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H,M$ thuộc tam giác. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AM$ cắt $BC$ tại $A'$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $BM$ cắt $CA$ tại $B'$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $CM$ cắt $AB$ tại $C'$. Chứng minh $A',B',C'$ thẳng hàng.

 

M thuộc tam giác chắc là M thuộc cạnh của tam giác. Nếu thật vậy thì rõ ràng có hai trong ba điểm A', B', C' trùng nhau nên dễ thấy đpcm. Thực sự hôm qua khi bài toán được công bố thì mình đã nghĩ sao lại như vậy? Nhưng sau một đêm mình đã tìm ra được bài toán tổng quát thú vị hơn nhìu: "Cho tam giác ABC có trực tâm là H và M là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Gọi A", B", C" lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AM, BM, CM. Gỉa sử A"H cắt BC tại A', B"H cắt AC tại B', C"H cắt BA tại C'. Chứng minh rằng A', B', C' thẳng hàng."

Và mình cũng đã tìm được lời giải (mong mọi người xem giùm nếu có sai sót gì).

Chứng minh:

Nếu M trùng với đỉnh của tam giác ABC hay nằm trên đoạn thẳng chứa cạnh của tam giác ABC thì dễ thấy (thu được từ vẽ hình) hai trong ba điểm A', B', C' trùng nhau. Vì thế nên ta có đpcm.

Xét M ko thoả các điều kiện trên. Dễ thấy A", B", C" cùng thuộc một đường tròn đường kính HM.

*Nếu tam giác ABC ko có góc tù:

TH1: M nằm miền trong tam giác ABC.

ÂCSCSVSDVXCVXCVVA.png

Nếu ta gọi AD, BE, CF Ta dễ chứng minh được: $\Delta AA"H\sim \Delta A'DH\Rightarrow A'H.A"H=AH.AD$. Tương tự ta cũng có $B'H.B"H=BH.HE$, $C'H.C"H=CH.HF$. Mà ta dễ thấy $AH.HD=BH.HE=CH.HF$ nên suy ra $ A'H.A"H=B'H.B"H=C'H.C"H$. Từ đó ta có A'B"A"B', B'C'B"C", A'C"A"C' nội tiếp. Ta có: $\widehat{A'B'B"}+\widehat{C'B'B"}=\widehat{HA"B"}+\widehat{HC"B"}=180^\circ$ (do năm điểm H, M, A", B", C" cùng thuộc đường tròn đường kính HM). Từ đó có A', B', C' thẳng hàng.

TH2: M nằm ngoài tam giác: Ta cũng chứng minh tương tự TH1 suy ra $ A'H.A"H=B'H.B"H=C'H.C"H$ rồi suy ra các tứ giác nội tiếp và chứng minh tương tự bằng cách nhóm các góc có tổng là 180.

*Nếu tam giác ABC có một góc vuông. Khi đó một trong ba điểm A', B', C' trùng nhau nên dễ có đpcm.

*Nếu tam giác ABC có một góc tù thì H nằm ngoài tam giác ABC. Tuy nhiên cách chứng minh cũng tương tự như TH1...

ÁCCZXCZXCZCASCASC.png

Hình gửi kèm

  • ASASACASCSACCSASACSACSS.png

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#3 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 14-08-2013 - 21:25

Ai up hình lên hộ mình cái nhá(cảm ơn nhiều)

 Mình xin trình bày cách khác đỡ trâu bò hơn

Gọi $D$ là hình chiếu của $H$ xuống $BC$,$X$ là hình chiếu của $H$ lên $AM$

Tương tự xác định $Y$ và $Z$

Khi đó xét phép nghịch đảo tâm $H$ tỉ số $HA.HD$

Ta có

$A' \mapsto X,B' \mapsto Y,C' \mapsto Z$

Rõ ràng $H,X,Y,Z$ đồng viên nên 

$A',B',C'$ thẳng hàng

QED.


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#4 suchica

suchica

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:huyện Anh Sơn, tinh Nghệ An
  • Sở thích:học toán, viết lách, đi chơi với bạn bè

Đã gửi 16-08-2013 - 09:16

Ai up hình lên hộ mình cái nhá(cảm ơn nhiều)

 Mình xin trình bày cách khác đỡ trâu bò hơn

Gọi $D$ là hình chiếu của $H$ xuống $BC$,$X$ là hình chiếu của $H$ lên $AM$

Tương tự xác định $Y$ và $Z$

Khi đó xét phép nghịch đảo tâm $H$ tỉ số $HA.HD$

Ta có

$A' \mapsto X,B' \mapsto Y,C' \mapsto Z$

Rõ ràng $H,X,Y,Z$ đồng viên nên 

$A',B',C'$ thẳng hàng

QED.

nghịch đảo, đồng viên trong hình là ntn vậy bạn. giải thích dùm mình được ko? cao siêu quá



#5 barcavodich

barcavodich

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 449 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Thái Bình---HSGS
  • Sở thích:Number Theory,Analysis

Đã gửi 16-08-2013 - 11:13

Bạn xem tại đây để hiểu rõ hơn nhé

http://mathvn.org/fo...?thread_id=1182


[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful


#6 LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũ Trụ
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 16-08-2013 - 15:38

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H,M$ thuộc tam giác. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AM$ cắt $BC$ tại $A'$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $BM$ cắt $CA$ tại $B'$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $CM$ cắt $AB$ tại $C'$. Chứng minh $A',B',C'$ thẳng hàng.

Từ bài toán này ta có thể phát triển thành bài toán sau khó hơn:

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H,M$ thuộc tam giác. Đường thẳng qua $H$ vuông góc với $AM$ cắt $AB$, $AC$ tại $X_A,Y_A$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $BM$ cắt $BC,BA$ tại $X_B,Y_B$, đường thẳng qua $H$ vuông góc với $CM$ cắt $CA,CB$ tại $X_C,Y_C$. $BY_A,CX_A$ cắt nhau tại $A_1$, $CY_B,AX_B$ cắt nhau tại $B_1$, $AY_C,BX_C$ cắt nhau tại $C_1$. CMR: $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh