Chủ đề này có 4 trả lời

[tpdtthltvp]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y+z=3$. CMR:

$$\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\geq \frac{3}{2}$$

[revenge]

ta có $\frac{1}{x^2+x} \geq \frac{5}{4}-\frac{3}{4}x$

nếu bạn quan tâm cách làm từ đâu có thể tham khảo phương pháp tiếp tuyến

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi revenge: 13-12-2015 - 12:11

[meomunsociu]

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y+z=3$. CMR:

        A = $$\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\geq \frac{3}{2}$$

$A=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1})$

Vận dụng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ ta có : $\frac{1}{x+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{1})$

Tương tự với 2 số còn lại suy ra $\sum \frac{1}{x+1}\leq \frac{1}{4}(\sum \frac{1}{x}+3)$

=> $A\geq \frac{3}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{3}{4}$

Do x,y,z > 0 nên $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=3$

=> $A\geq \frac{3}{4}.3-\frac{3}{4}$

hay A$A\geq \frac{3}{2}$

Dấu "='' xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 13-12-2015 - 12:12

[dogsteven]

Giả sử $(y-1)(z-1)\geqslant 0$ thì $y^2+z^2\leqslant (y+z-1)^2+1=x^2-4x+5$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{4}{y^2+z^2+y+z}+\dfrac{1}{x^2+x}\geqslant \dfrac{4}{x^2-5x+8}+\dfrac{1}{x^2+x}=\dfrac{(x-1)^2(16+6x-3x^2)}{2x(x+1)(x^2-5x+8)}+\dfrac{3}{2}\geqslant \dfrac{3}{2}$

[minh2582001]

ta có $\frac{1}{x^2+x} \geq \frac{5}{4}-\frac{3}{4}x$

nếu bạn quan tâm cách làm từ đâu có thể tham khảo phương pháp tiếp tuyến

Cho mình hỏi "phương pháp tiếp tuyến" được học ở lớp mấy?