Chủ đề này có 1 trả lời

[quanganhthanhhoa]

Cho $a,b,c>0$.Tìm Max:$\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

[xxthieuongxx]

Cho $a,b,c>0$.Tìm Max:$\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

Có: $(\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}})^{2}\leq 3(\sum \frac{2a}{a+b})$
Ta sẽ cm max của $(\sum \frac{2a}{a+b})$ là 3
Đặt $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$, $y=\sqrt{\frac{c}{b}}$, $z=\sqrt{\frac{a}{c}}$
ta có $x,y,z>0$ và $xyz=1$
Phải cm: $\sum (\sqrt{\frac{2}{1+x^{2}}})\leq 3$

Giả sử $1\geq xy$ thì $z\leq 1$
Ta cm: $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\leq \frac{2}{1+xy}$  (Cái này biến đổi tương đương là ra nhé!!) 

BĐT Bunhiacopxki có $(\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^2}})^2\leq 2(\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2})\leq \frac{8z}{z+1}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^2}}\leq 2\sqrt{\frac{2z}{z+1}}$

Lại có: $\sqrt{\frac{2}{1+z^2}}\leq \frac{2}{1+z}$

Do đó ta sẽ chứng minh: $2\sqrt{\frac{2}{1+z}}+\frac{2}{1+z}\leq 3\Leftrightarrow (\sqrt{2z}-\sqrt{z+1})^2\geq 0$ (luôn đúng)

Suy ra $đpcm$
                   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxthieuongxx: 14-12-2015 - 22:34