Chủ đề này có 7 trả lời

[NTA1907]

Cho $a, b, c\geq \dfrac{-3}{4}$ và $a+b+c=1$. CMR:

$\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}\leq \dfrac{9}{10}$

[takarin1512]

Xét $\frac{36x+3}{50}-\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{\left ( 3x-1 \right )^{2}\left ( 4x+3 \right )}{50\left ( x^{2}+1 \right )}\geq 0$ (với $x\geq \frac{-3}{4}$)

$\Rightarrow \frac{x}{x^{2}+1}\leq \frac{36x+3}{50}$

Áp dụng ta có: $\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum \frac{36a+3}{50}=\frac{36\left ( a+b+c \right )+9}{50}=\frac{9}{10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 13-12-2015 - 19:29

[haichau0401]

Xét $\frac{36x+3}{50}-\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{\left ( 3x-1 \right )^{2}\left ( 4x+3 \right )}{50\left ( x^{2}+1 \right )}\geq 0$ (với $x\geq \frac{-3}{4}$)

$\Rightarrow \frac{x}{x^{2}+1}\leq \frac{36x+3}{50}$

Áp dụng ta có: $\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum \frac{36a+3}{50}=\frac{36\left ( a+b+c \right )+9}{50}=\frac{9}{10}$

Dựa vào cơ sở nào để biết mà xét hiệu $\frac{36x+3}{50}-\frac{x}{x^{2}+1}$ thế bạn?

[revenge]

Dựa vào cơ sở nào để biết mà xét hiệu $\frac{36x+3}{50}-\frac{x}{x^{2}+1}$ thế bạn?

nhờ đạo hàm xét tiếp tuyến đó bạn

[Gachdptrai12]

dùng dirichlet nhé các bạn bài giải của mình nè

[Gachdptrai12]

theo nguyên lí dirichlet ta có 2 trong 3 số lơn hơn hoặc nhỏ hơn 1/3 giả sử đó là a,b khi đó ta có

 $(a-\frac{1}{3})(b-\frac{1}{3})\geq 0 \Rightarrow (a^{2}+b^{2})=\frac{1}{9}+(a+b-\frac{1}{3})^{2}-2(a-\frac{1}{3})(b-\frac{1}{3})\leq \frac{1}{9}+(a+b-\frac{1}{3})^{2}= \frac{1}{9}-(\frac{2}{3}-c)^{2}$

bđt đã cho tương đương

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:$\frac{c}{c^{2}+1}\leq (\frac{1}{2}-\frac{a}{a^{2}+1})+(\frac{1}{2}-\frac{b}{b^{2}+1})-\frac{1}{10}\Leftrightarrow \frac{(a-1)^{2}}{a^{2}+1}+\frac{(b-1^{2})}{b^{2}+1}\geq \frac{1}{5}+\frac{2c}{c^{2}+1}$

$\frac{(a-1)^{2}}{a^{2}+1}+\frac{(b-1)^{2}}{b^{2}+1}\geq \frac{(a+b-2)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{(c+1)^{2}}{\frac{1}{9}+(\frac{2}{3}-c)^{2}+2}= \frac{9(c+1)^{2}}{9c^{2}-23c+12}$

do đó cần c/m

$\frac{9(c+1)^{2}}{9c^{2}-23c+12}\geq \frac{c^{2}+10c+1}{5(c^{2}+1)} \Leftrightarrow (3c-1)^{2}(2c^{2}+2c+1)\geq 0$ đúng => đpcm

[Gachdptrai12]

$Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số a,b,c phải có ít nhất 2 số cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn \dfrac{1}{3}. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b Khi đó:(a-\dfrac{1}{3})(b-\dfrac{1}{3})\geq 0 \Rightarrow a^2+b^2=\dfrac{1}{9}+(a+b-\dfrac{1}{3})^2-2(a-\dfrac{1}{3})(b-\dfrac{1}{3})\leq \dfrac{1}{9}+(a+b-\dfrac{1}{3})^2 =\dfrac{1}{9}+(\dfrac{2}{3}-c)^2 BĐT đã cho tương đương với \dfrac{c}{c^2+1}\leq (\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{a^2+1})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{b}{b^2+1})-\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow \dfrac{(a-1)^2}{a^2+1}+\dfrac{(b-1)^2}{b^2+1}\geq \dfrac{1}{5}+\dfrac{2c}{c^2+1} Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: \dfrac{(a-1)^2}{a^2+1}+\dfrac{(b-1)^2}{b^2+1}\geq \dfrac{(a+b-2)^2}{a^2+b^2+2}\geq \dfrac{(c+1)^2}{\dfrac{1}{9}+(\dfrac{2}{3}-c)^2+2} =\dfrac{9(c+1)^2}{9c^2-23c+12} Do đó ta chỉ cần phải chứng minh \dfrac{9(c+1)^2}{9c^2-23c+12}\geq \dfrac{c^2+10c+1}{5(c^2+1)} Bằng cách quy đồng và phân tích nhân tử, ta có BĐT tương đương với (3c-1)^2(2c^2+2c+1)\geq 0 BĐT này hiển nhiên đúng và ta có đpcm$

[Gachdptrai12]

bấm trong bảg latex thì hiện rõ ràng ra thì chẳng hiện cái gì hết nản