Cho $a, b, c\geq \dfrac{-3}{4}$ và $a+b+c=1$. CMR:
$\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}\leq \dfrac{9}{10}$
Cho $a, b, c\geq \dfrac{-3}{4}$ và $a+b+c=1$. CMR:
$\dfrac{a}{a^{2}+1}+\dfrac{b}{b^{2}+1}+\dfrac{c}{c^{2}+1}\leq \dfrac{9}{10}$
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Xét $\frac{36x+3}{50}-\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{\left ( 3x-1 \right )^{2}\left ( 4x+3 \right )}{50\left ( x^{2}+1 \right )}\geq 0$ (với $x\geq \frac{-3}{4}$)
$\Rightarrow \frac{x}{x^{2}+1}\leq \frac{36x+3}{50}$
Áp dụng ta có: $\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum \frac{36a+3}{50}=\frac{36\left ( a+b+c \right )+9}{50}=\frac{9}{10}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 13-12-2015 - 19:29
Xét $\frac{36x+3}{50}-\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{\left ( 3x-1 \right )^{2}\left ( 4x+3 \right )}{50\left ( x^{2}+1 \right )}\geq 0$ (với $x\geq \frac{-3}{4}$)
$\Rightarrow \frac{x}{x^{2}+1}\leq \frac{36x+3}{50}$
Áp dụng ta có: $\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum \frac{36a+3}{50}=\frac{36\left ( a+b+c \right )+9}{50}=\frac{9}{10}$
Dựa vào cơ sở nào để biết mà xét hiệu $\frac{36x+3}{50}-\frac{x}{x^{2}+1}$ thế bạn?
Dựa vào cơ sở nào để biết mà xét hiệu $\frac{36x+3}{50}-\frac{x}{x^{2}+1}$ thế bạn?
nhờ đạo hàm xét tiếp tuyến đó bạn
dùng dirichlet nhé các bạn bài giải của mình nè
theo nguyên lí dirichlet ta có 2 trong 3 số lơn hơn hoặc nhỏ hơn 1/3 giả sử đó là a,b khi đó ta có
$(a-\frac{1}{3})(b-\frac{1}{3})\geq 0 \Rightarrow (a^{2}+b^{2})=\frac{1}{9}+(a+b-\frac{1}{3})^{2}-2(a-\frac{1}{3})(b-\frac{1}{3})\leq \frac{1}{9}+(a+b-\frac{1}{3})^{2}= \frac{1}{9}-(\frac{2}{3}-c)^{2}$
bđt đã cho tương đương
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:$\frac{c}{c^{2}+1}\leq (\frac{1}{2}-\frac{a}{a^{2}+1})+(\frac{1}{2}-\frac{b}{b^{2}+1})-\frac{1}{10}\Leftrightarrow \frac{(a-1)^{2}}{a^{2}+1}+\frac{(b-1^{2})}{b^{2}+1}\geq \frac{1}{5}+\frac{2c}{c^{2}+1}$
$\frac{(a-1)^{2}}{a^{2}+1}+\frac{(b-1)^{2}}{b^{2}+1}\geq \frac{(a+b-2)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{(c+1)^{2}}{\frac{1}{9}+(\frac{2}{3}-c)^{2}+2}= \frac{9(c+1)^{2}}{9c^{2}-23c+12}$
do đó cần c/m
$\frac{9(c+1)^{2}}{9c^{2}-23c+12}\geq \frac{c^{2}+10c+1}{5(c^{2}+1)} \Leftrightarrow (3c-1)^{2}(2c^{2}+2c+1)\geq 0$ đúng => đpcm
$Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số a,b,c phải có ít nhất 2 số cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn \dfrac{1}{3}. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b Khi đó:(a-\dfrac{1}{3})(b-\dfrac{1}{3})\geq 0 \Rightarrow a^2+b^2=\dfrac{1}{9}+(a+b-\dfrac{1}{3})^2-2(a-\dfrac{1}{3})(b-\dfrac{1}{3})\leq \dfrac{1}{9}+(a+b-\dfrac{1}{3})^2 =\dfrac{1}{9}+(\dfrac{2}{3}-c)^2 BĐT đã cho tương đương với \dfrac{c}{c^2+1}\leq (\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{a^2+1})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{b}{b^2+1})-\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow \dfrac{(a-1)^2}{a^2+1}+\dfrac{(b-1)^2}{b^2+1}\geq \dfrac{1}{5}+\dfrac{2c}{c^2+1} Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: \dfrac{(a-1)^2}{a^2+1}+\dfrac{(b-1)^2}{b^2+1}\geq \dfrac{(a+b-2)^2}{a^2+b^2+2}\geq \dfrac{(c+1)^2}{\dfrac{1}{9}+(\dfrac{2}{3}-c)^2+2} =\dfrac{9(c+1)^2}{9c^2-23c+12} Do đó ta chỉ cần phải chứng minh \dfrac{9(c+1)^2}{9c^2-23c+12}\geq \dfrac{c^2+10c+1}{5(c^2+1)} Bằng cách quy đồng và phân tích nhân tử, ta có BĐT tương đương với (3c-1)^2(2c^2+2c+1)\geq 0 BĐT này hiển nhiên đúng và ta có đpcm$
bấm trong bảg latex thì hiện rõ ràng ra thì chẳng hiện cái gì hết nản
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh