Đến nội dung

Hình ảnh

Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai ma trận vuông cấp n với hệ số phức . Chứng minh rằng nếu ma trận $I_{n}-AB$ khả đảo thì ma trậ

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
William Tran An

William Tran An

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Nhờ mọi người giải giúp mấy bài toán sau đây : 

Bài 1 : Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai ma trận vuông cấp n với hệ số phức . Chứng minh rằng nếu ma trận $I_{n}-AB$ khả đảo thì ma trận $I_{n}-BA$ cũng khả đảo . 

Bài 2 : Cho V là không gian vector thực $F:V\rightarrow R^{2}$ là ánh xạ tuyến tính . Gọi W là tập hợp con bao gồm tất cả các vector v của V thỏa mãn điều kiện F(v) = 0 . Giả sử $W\neq V$ và $v_{1} ; v_{2}$ là hai vector thuộc V thỏa mãn điều kiện $W_{2}\cap W={0};dimW_{2}=2$ trong đó $W_{2}=Span{v_{1};v_{2}}$ . Chứng minh rằng , mọi vector v của V đều biểu diễn được dưới dạng tổng $w+\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}$ trong đó $w\in W;\alpha _{1};\alpha _{2}\in \mathbb{R}$ 

Bài 3 : Cho A là ma trận đối xứng với các hệ số thực . Chứng minh rằng tồn tại ma trận với các hệ số phức B sao cho $B^{2}=A$ 

Bài 4 : Cho ma trận : $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 &0 \\ 1& 2& -1& -1&0 \\ 0& 0 & 1 &4 &0 \\ 2 & 4 & 1 &10 &1 \end{bmatrix}$ 

a ) Gọi B là ma trận hình thang rút gọn của A . Tìm ma trận khả nghịch P sao cho $PA=B$ 

b ) Ma trận $Y \left ( 4\times 1 \right )$ thỏa mãn điều kiện nào để hệ phương trình tuyến tính $AX=Y$ 

 


Người không vì mình 

Trời tru đất diệt 


#2
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

 

 

Bài 3 : Cho A là ma trận đối xứng với các hệ số thực . Chứng minh rằng tồn tại ma trận với các hệ số phức B sao cho $B^{2}=A$ 

 

 

Vì $A$ là ma trận thực đối xứng nên nó chéo hóa được, nghĩa là tồn tại ma trận đường chéo $D$  và ma trận khả nghịch $B$ sao cho $P^{-1}AP=D.$

 

Ta chọn $C$ là ma trận đường chéo sao cho $c_{k,k}^2 =d_{k,k} \, \forall k=1, 2, ..., n.$
Khi đó chọn $B= P^{-1}DP$, ta có $B^2=A.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 14-12-2015 - 12:26

Đời người là một hành trình...


#3
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Bài 2 : Cho V là không gian vector thực $F:V\rightarrow R^{2}$ là ánh xạ tuyến tính . Gọi W là tập hợp con bao gồm tất cả các vector v của V thỏa mãn điều kiện F(v) = 0 . Giả sử $W\neq V$ và $v_{1} ; v_{2}$ là hai vector thuộc V thỏa mãn điều kiện $W_{2}\cap W={0};dimW_{2}=2$ trong đó $W_{2}=Span{v_{1};v_{2}}$ . Chứng minh rằng , mọi vector v của V đều biểu diễn được dưới dạng tổng $w+\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}$ trong đó $w\in W;\alpha _{1};\alpha _{2}\in \mathbb{R}$ 

 

Vì $dim {KerF}+2 = dim {W \bigcup W_2} \le dim {V}=dim {KerF}+dim{Im(F)}$ với  $dim {Im(F)} \le dim {\mathbb{R}}=2$.Suy ra $W_2 \oplus W = V.$ Suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 14-12-2015 - 21:00

Đời người là một hành trình...


#4
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết
 

Nhờ mọi người giải giúp

Bài 4 : Cho ma trận : $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 &0 \\ 1& 2& -1& -1&0 \\ 0& 0 & 1 &4 &0 \\ 2 & 4 & 1 &10 &1 \end{bmatrix}$ 

a ) Gọi B là ma trận hình thang rút gọn của A . Tìm ma trận khả nghịch P sao cho $PA=B$ 

b ) Ma trận $Y \left ( 4\times 1 \right )$ thỏa mãn điều kiện nào để hệ phương trình tuyến tính $AX=Y$ 

 

Bài 4: Bạn tự làm được?! Dùng thuật toán Gauss-Jordan!

 

 

Bài 1:

 

Một kết quả xuất hiện liên quan đại số tuyến tính và đại số đại cương.

Khi $I_n-AB$, người ta chỉ ra rằng $I_n-BA$  cũng khả nghịch. Hơn nữa $(I_n-BA)^{-1}=C:= I_n+B(I_n-AB)^{-1}A$.

"Hơn nữa" đã giải thoát tất cả các khó khăn bằng cách kiểm tra $(I_n-BA)C=C(I_n-BA)=I_n$ (điều này đơn giản!).

 

 

 

------------------------------------------------------------------------------------------------

Nháp (Bài 1): (Thử một hướng khác: c/m: $\det(I_n-AB)=\det(I_n-BA)$? (đã đúng với $n=2, 3$))

Đặt $E=AB,\, F= BA,\, E_1=E-I_n,\, F_1=F-I_n,$ 

Ta có $\det(E)=\det(F).$

$$\det(E_1) = \det{E}-\sum_{\sigma \in S_n: \exists j: \sigma_j=j} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^nE _{i,\sigma_i},$$

$$\det(F_1) = \det{F}-\sum_{\sigma \in S_n: \exists j: \sigma_j=j} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n F_{i,\sigma_i}.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 14-12-2015 - 20:57

Đời người là một hành trình...


#5
nthkhnimqt

nthkhnimqt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

 

Vì $A$ là ma trận thực đối xứng nên nó chéo hóa được, nghĩa là tồn tại ma trận đường chéo $D$  và ma trận khả nghịch $B$ sao cho $P^{-1}AP=D.$

 

Ta chọn $C$ là ma trận đường chéo sao cho $c_{k,k}^2 =d_{k,k} \, \forall k=1, 2, ..., n.$
Khi đó chọn $B= P^{-1}DP$, ta có $B^2=A.$

 

Nếu cái $d_{k,k}$ nó âm rồi sao bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthkhnimqt: 15-12-2015 - 05:58

Cần lắm một bờ vai nương tựa


#6
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Nếu cái $d_{k,k}$ nó âm rồi sao bạn

Vì chọn $C$ là ma trận có hệ số phức nên $d_{k,k} <0$ cũng không có vấn đề.


Đời người là một hành trình...


#7
William Tran An

William Tran An

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Bạn ơi , bạn hướng dẫn mình cách làm câu b bài 4 đi ! Cảm ơn bạn 


Người không vì mình 

Trời tru đất diệt 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh