Nhờ mọi người giải giúp mấy bài toán sau đây :
Bài 1 : Ký hiệu $I_{n}$ là ma trận đơn vị . Giả sử A , B là hai ma trận vuông cấp n với hệ số phức . Chứng minh rằng nếu ma trận $I_{n}-AB$ khả đảo thì ma trận $I_{n}-BA$ cũng khả đảo .
Bài 2 : Cho V là không gian vector thực $F:V\rightarrow R^{2}$ là ánh xạ tuyến tính . Gọi W là tập hợp con bao gồm tất cả các vector v của V thỏa mãn điều kiện F(v) = 0 . Giả sử $W\neq V$ và $v_{1} ; v_{2}$ là hai vector thuộc V thỏa mãn điều kiện $W_{2}\cap W={0};dimW_{2}=2$ trong đó $W_{2}=Span{v_{1};v_{2}}$ . Chứng minh rằng , mọi vector v của V đều biểu diễn được dưới dạng tổng $w+\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}$ trong đó $w\in W;\alpha _{1};\alpha _{2}\in \mathbb{R}$
Bài 3 : Cho A là ma trận đối xứng với các hệ số thực . Chứng minh rằng tồn tại ma trận với các hệ số phức B sao cho $B^{2}=A$
Bài 4 : Cho ma trận : $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 &0 \\ 1& 2& -1& -1&0 \\ 0& 0 & 1 &4 &0 \\ 2 & 4 & 1 &10 &1 \end{bmatrix}$
a ) Gọi B là ma trận hình thang rút gọn của A . Tìm ma trận khả nghịch P sao cho $PA=B$
b ) Ma trận $Y \left ( 4\times 1 \right )$ thỏa mãn điều kiện nào để hệ phương trình tuyến tính $AX=Y$