Chủ đề này có 3 trả lời

[Gachdptrai12]

một bài đơn giản cho a,b,c >0 thoa abc=1 c/m

$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+6\geq 2(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

[royal1534]

một bài đơn giản cho a,b,c >0 thoa abc=1 c/m

$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+6\geq 2(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Trước hết ta có các nhận xét cơ bản sau:

$a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

$ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}=3$

Trở lại bài toán ta có:

BĐT cần chứng minh $\leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+3 \geq 2(a+b+c+\frac{ab+bc+ca}{abc})$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)+3 \geq 2(a+b+c+ab+bc+ca) (*)$

Đặt $x=a+b+c$ và $y=ab+bc+ca $

$\rightarrow x \geq 3,y \geq 3$

$(*) \Leftrightarrow xy+3 \geq 2(x+y)$

    $\Leftrightarrow (x-2)(y-2) \geq 1$  

Mặt khác BĐT trên đúng vì $x \geq 3$ và $y \geq 3$ 

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 14-12-2015 - 11:33

[Gachdptrai12]

cách làm của mình vì viết trên đt nên thông cảm ko gõ latex được vì abc=1 nên ta đặt a=x/y b=y/z c =z/x biến đổi bất đẳng thức theo x,y,z được bđt schur bậc nhất )

[Gachdptrai12]

bài này cũng có thể dồn biến theo căn ab srry nhé