Chủ đề này có 4 trả lời

[hoangtulaihz]

1) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.Tìm minP biết  $P=\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}$

[hoangtulaihz]

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. chứng minh rằng:  $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+c+a}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}\leq \sqrt{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtulaihz: 14-12-2015 - 05:17

[haichau0401]

cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. chứng minh rằng:  $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+c+a}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}\leq \sqrt{3}$

Áp dụng bất đẳng thức bu nhi ta có:

$\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}=\frac{a\sqrt{1+b+c}}{\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}}\leq \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$

Tương tự cộng vế theo vế ta được:

$VT\leq \sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\leq \frac{\sqrt{(a+b+c)\left ( a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b) \right )}}{a+b+c}$

$\doteq \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b+c+2ab+2bc+2ca)}{(a+b+c)^2}}=\sqrt{1+\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}}$

Ta chứng minh: $a+b+c\geq ab+bc+ca$

Ta có: $ab+bc+ca\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}=3$

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\geq (ab+bc+ca)^2\Rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 14-12-2015 - 15:53

[lebaominh95199]

Áp dụng bất đẳng thức bu nhi ta có:

$\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}=\frac{a\sqrt{1+b+c}}{\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}}\leq \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$

Tương tự cộng vế theo vế ta được:

$VT\leq \sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\leq \frac{(a+b+c)\left ( a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b) \right )}{a+b+c}$

$\doteq \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b+c+2ab+2bc+2ca)}{(a+b+c)^2}}=\sqrt{1+\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}}$

Ta chứng minh: $a+b+c\geq ab+bc+ca$

Ta có: $ab+bc+ca\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}=3$

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\geq (ab+bc+ca)^2\Rightarrow dpcm$

Bạn ơi, cái chỗ $VT\leq \sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\leq \frac{(a+b+c)\left ( a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b) \right )}{a+b+c}$ đáng lẽ phải là $VT\leq \sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\leq \frac{\sqrt{(a+b+c)\left ( a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b) \right )}}{a+b+c}$ chứ nhỉ

[royal1534]

 

1) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.Tìm minP biết  $P=\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 14-12-2015 - 16:51