1) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.Tìm minP biết $P=\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}$
$P=\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}$
#1
Đã gửi 14-12-2015 - 05:08
If you dream without acting, you''be the loser.
#2
Đã gửi 14-12-2015 - 05:16
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+c+a}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}\leq \sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtulaihz: 14-12-2015 - 05:17
If you dream without acting, you''be the loser.
#3
Đã gửi 14-12-2015 - 12:13
cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}}{b^{2}+c+a}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}\leq \sqrt{3}$
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi ta có:
$\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}=\frac{a\sqrt{1+b+c}}{\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}}\leq \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$
Tương tự cộng vế theo vế ta được:
$VT\leq \sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\leq \frac{\sqrt{(a+b+c)\left ( a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b) \right )}}{a+b+c}$
$\doteq \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b+c+2ab+2bc+2ca)}{(a+b+c)^2}}=\sqrt{1+\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}}$
Ta chứng minh: $a+b+c\geq ab+bc+ca$
Ta có: $ab+bc+ca\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}=3$
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\geq (ab+bc+ca)^2\Rightarrow dpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 14-12-2015 - 15:53
- lebaominh95199, NTA1907 và naruto73 thích
#4
Đã gửi 14-12-2015 - 15:32
Áp dụng bất đẳng thức bu nhi ta có:
$\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}=\frac{a\sqrt{1+b+c}}{\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}}\leq \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}$
Tương tự cộng vế theo vế ta được:
$VT\leq \sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\leq \frac{(a+b+c)\left ( a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b) \right )}{a+b+c}$
$\doteq \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b+c+2ab+2bc+2ca)}{(a+b+c)^2}}=\sqrt{1+\frac{2(ab+bc+ca)}{a+b+c}}$
Ta chứng minh: $a+b+c\geq ab+bc+ca$
Ta có: $ab+bc+ca\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}=3$
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\geq (ab+bc+ca)^2\Rightarrow dpcm$
Bạn ơi, cái chỗ $VT\leq \sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\leq \frac{(a+b+c)\left ( a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b) \right )}{a+b+c}$ đáng lẽ phải là $VT\leq \sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{a+b+c}\leq \frac{\sqrt{(a+b+c)\left ( a(1+b+c)+b(1+c+a)+c(1+a+b) \right )}}{a+b+c}$ chứ nhỉ
#5
Đã gửi 14-12-2015 - 16:46
1) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.Tìm minP biết $P=\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 14-12-2015 - 16:51
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bat dang thuc
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\sqrt{ab+bc+ca} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$Bắt đầu bởi nguyenmark, 16-02-2019 bất đẳng thức, olympic 30 4 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cho các số thực x,y,z tm x+y+z=xyzBắt đầu bởi doctor lee, 06-03-2018 bat dang thuc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cho a,b,c la 3 so thuc duongBắt đầu bởi doctor lee, 28-02-2018 bat dang thuc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
cho a,b,c la cac so khong am va khong lon hon 2 thoa man a+b+c=3.CM a^2+b^2+c^2<=5Bắt đầu bởi khi con 123, 20-02-2018 bat dang thuc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh a+1/b(a-b) >=3Bắt đầu bởi huythanhquag, 20-01-2018 bat dang thuc |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh