Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi Olympic Toán Sinh viên cấp trường ĐH Giao thông Vận tải TP HCM năm 2015 môn Đại số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 582 Bài viết

Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} -1 & x & x & \cdots & x\\ x & -1 & x & \cdots & x\\ x & x & -1 & \cdots & x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x & x & x & \cdots & -1 \end{pmatrix}$ là ma trận vuông cấp $n$, với $x$ là biến số thực. Chứng minh rằng phương trình $\det A=0$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

 

Câu 2: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ -3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

a) Tính $A^{2015}$.

b) Chứng minh rằng tập $W=\left \{ B \in M_3[\mathbb{R}]:AB=BA \right \}$, (trong đó $M_3[\mathbb{R}]$ là tập các ma trận vuông cấp 3 với các phần tử thực) là một không gian véc tơ con của $M_3[\mathbb{R}]$. Tìm một cơ sở và số chiều của $W$.

 

Câu 3: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ -a-1 & a & a+1\\ -a & a & a+1 \end{pmatrix}\in M_3[\mathbb{R}]$, với $a\in \mathbb{R}$ tùy ý.

a) Chứng tỏ rằng $A$ chéo hóa được trên $\mathbb{R}$. Chỉ ra một ma trận làm chéo hóa $A$.

b) Áp dụng kết quả câu a), hãy tính $A^{100}$.

 

Câu 4: Cho $A$, $B$ là hai ma trận vuông khả nghịch trong $M_n[\mathbb{R}]$, $n \geq 2$, thỏa phương trình $AB+BA=O$.

a) Chứng minh $n$ là số nguyên chẵn.

b) Cho ví dụ cụ thể với $n=2$.

 

Câu 5: Cho ánh xạ $f:\mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ xác định bởi $$f(P(x))=(x+1)(x+3)P'(x)-xP(x)$$ với mọi $P(x)\in \mathbb{R}[x]$. Trong đó $\mathbb{R}[x]$ là không gian các đa thực có hệ số thực.

a) Chứng minh rằng $f$ là ánh xạ tuyến tinh trên $\mathbb{R}[x]$.

b) Chứng minh rằng các véc tơ riêng của $f$ đều là các đa thức bậc 1. Từ đó hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của $f$.

 

Câu 6: Cho $K=\left \{ x_i,y_i,z_i)\in \mathbb{Z}^3:i=1,...,9 \right \}$ là tập hợp gồm 9 điểm khác nhau có tọa độ nguyên trong không gian Oxyz. Chứng minh rằng có ít nhất một trung điểm của đoạn thẳng nối các điểm $K$ có tọa độ nguyên.

 

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2
trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} -1 & x & x & \cdots & x\\ x & -1 & x & \cdots & x\\ x & x & -1 & \cdots & x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x & x & x & \cdots & -1 \end{pmatrix}$ là ma trận vuông cấp $n$, với $x$ là biến số thực. Chứng minh rằng phương trình $\det A=0$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

 

Xử lí bài dễ trước ạ, em mới mon men học nên có gì sai sót mong anh sửa giúp

 

$A=\begin{pmatrix} -1&x &x &... &x \\ x& -1& x&... &x \\ x& x& -1&... &x \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ x& x& x& ...&-1 \end{pmatrix}$

 

$\overset{c1\rightarrow c1+c2+...+cn}{\rightarrow}\begin{pmatrix} (n-1)x-1&x &x &... &x \\ (n-1)x-1&-1 &x &... &x \\ (n-1)x-1&x &-1 &... &x \\ \vdots &\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ (n-1)x-1 &x &x &... &-1 \end{pmatrix}$

 

$\xrightarrow[dn\rightarrow -d1+dn]{d2\rightarrow -d1+d2}\begin{pmatrix} (n-1)x-1 &x &x &... &x \\ 0& -1-x&0 & ... &0 \\ 0& 0&-1-x &... &0 \\ \vdots&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0& 0& 0& 0&-1-x \end{pmatrix}$

 

Do đó: $detA=(-1)^{n-1}(1+x)^{n-1}[(n-1)x-1]$

 

Vậy phương trình $detA$ có 2 nghiệm thực đó là: $x=-1,x=\frac{1}{n-1}$



#3
trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Câu 2: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ -3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

a) Tính $A^{2015}$.

 

 

Tách ma trận $A$ thành tổng của hai ma trận rồi dùng khai triển Newton:

 

Ta có:

 

$A=\begin{pmatrix} 3 &0 &0 \\ 2 &3 &0 \\ -3 &4 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 2 &0 &0 \\ -3 &4 &0 \end{pmatrix}+3.\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

 

Do đó: $A=B+3I_{3}$ với $I_{3}$ là ma trận đơn vị cấp 3.

 

Mà: $B^2=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 8 &0 &0 \end{pmatrix}, B^3=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}$ nên: $B^k=0$ với $k\geq 3$

 

Khi đó:

 

                              $A^{2015}=(B+3I_3)^{2015}=\sum_{k=0}^{2015}C_{k}^{2015}B^k.(3I_3)^{2015-k}$

 

                                                                          $=(3I_3)^{2015}+2015.B.(3I_3)^{2014}+\frac{2015.2014}{2}.B^2.(3I_3)^{2013}$

 

Đến đây thì chắc là đơn giản rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 15-12-2015 - 20:07





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh