Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} -1 & x & x & \cdots & x\\ x & -1 & x & \cdots & x\\ x & x & -1 & \cdots & x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x & x & x & \cdots & -1 \end{pmatrix}$ là ma trận vuông cấp $n$, với $x$ là biến số thực. Chứng minh rằng phương trình $\det A=0$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.
Câu 2: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ -3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$
a) Tính $A^{2015}$.
b) Chứng minh rằng tập $W=\left \{ B \in M_3[\mathbb{R}]:AB=BA \right \}$, (trong đó $M_3[\mathbb{R}]$ là tập các ma trận vuông cấp 3 với các phần tử thực) là một không gian véc tơ con của $M_3[\mathbb{R}]$. Tìm một cơ sở và số chiều của $W$.
Câu 3: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ -a-1 & a & a+1\\ -a & a & a+1 \end{pmatrix}\in M_3[\mathbb{R}]$, với $a\in \mathbb{R}$ tùy ý.
a) Chứng tỏ rằng $A$ chéo hóa được trên $\mathbb{R}$. Chỉ ra một ma trận làm chéo hóa $A$.
b) Áp dụng kết quả câu a), hãy tính $A^{100}$.
Câu 4: Cho $A$, $B$ là hai ma trận vuông khả nghịch trong $M_n[\mathbb{R}]$, $n \geq 2$, thỏa phương trình $AB+BA=O$.
a) Chứng minh $n$ là số nguyên chẵn.
b) Cho ví dụ cụ thể với $n=2$.
Câu 5: Cho ánh xạ $f:\mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ xác định bởi $$f(P(x))=(x+1)(x+3)P'(x)-xP(x)$$ với mọi $P(x)\in \mathbb{R}[x]$. Trong đó $\mathbb{R}[x]$ là không gian các đa thực có hệ số thực.
a) Chứng minh rằng $f$ là ánh xạ tuyến tinh trên $\mathbb{R}[x]$.
b) Chứng minh rằng các véc tơ riêng của $f$ đều là các đa thức bậc 1. Từ đó hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của $f$.
Câu 6: Cho $K=\left \{ x_i,y_i,z_i)\in \mathbb{Z}^3:i=1,...,9 \right \}$ là tập hợp gồm 9 điểm khác nhau có tọa độ nguyên trong không gian Oxyz. Chứng minh rằng có ít nhất một trung điểm của đoạn thẳng nối các điểm $K$ có tọa độ nguyên.