Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic Toán Sinh viên cấp trường ĐH Giao thông Vận tải TP HCM năm 2015 môn Đại số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 vo van duc

vo van duc

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Đã gửi 14-12-2015 - 09:17

Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} -1 & x & x & \cdots & x\\ x & -1 & x & \cdots & x\\ x & x & -1 & \cdots & x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x & x & x & \cdots & -1 \end{pmatrix}$ là ma trận vuông cấp $n$, với $x$ là biến số thực. Chứng minh rằng phương trình $\det A=0$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

 

Câu 2: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ -3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

a) Tính $A^{2015}$.

b) Chứng minh rằng tập $W=\left \{ B \in M_3[\mathbb{R}]:AB=BA \right \}$, (trong đó $M_3[\mathbb{R}]$ là tập các ma trận vuông cấp 3 với các phần tử thực) là một không gian véc tơ con của $M_3[\mathbb{R}]$. Tìm một cơ sở và số chiều của $W$.

 

Câu 3: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\ -a-1 & a & a+1\\ -a & a & a+1 \end{pmatrix}\in M_3[\mathbb{R}]$, với $a\in \mathbb{R}$ tùy ý.

a) Chứng tỏ rằng $A$ chéo hóa được trên $\mathbb{R}$. Chỉ ra một ma trận làm chéo hóa $A$.

b) Áp dụng kết quả câu a), hãy tính $A^{100}$.

 

Câu 4: Cho $A$, $B$ là hai ma trận vuông khả nghịch trong $M_n[\mathbb{R}]$, $n \geq 2$, thỏa phương trình $AB+BA=O$.

a) Chứng minh $n$ là số nguyên chẵn.

b) Cho ví dụ cụ thể với $n=2$.

 

Câu 5: Cho ánh xạ $f:\mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ xác định bởi $$f(P(x))=(x+1)(x+3)P'(x)-xP(x)$$ với mọi $P(x)\in \mathbb{R}[x]$. Trong đó $\mathbb{R}[x]$ là không gian các đa thực có hệ số thực.

a) Chứng minh rằng $f$ là ánh xạ tuyến tinh trên $\mathbb{R}[x]$.

b) Chứng minh rằng các véc tơ riêng của $f$ đều là các đa thức bậc 1. Từ đó hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của $f$.

 

Câu 6: Cho $K=\left \{ x_i,y_i,z_i)\in \mathbb{Z}^3:i=1,...,9 \right \}$ là tập hợp gồm 9 điểm khác nhau có tọa độ nguyên trong không gian Oxyz. Chứng minh rằng có ít nhất một trung điểm của đoạn thẳng nối các điểm $K$ có tọa độ nguyên.

 

Võ Văn Đức 17.gif       6.gif

 

 

 

 

 


#2 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 15-12-2015 - 00:47

Câu 1: Cho $A=\begin{pmatrix} -1 & x & x & \cdots & x\\ x & -1 & x & \cdots & x\\ x & x & -1 & \cdots & x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x & x & x & \cdots & -1 \end{pmatrix}$ là ma trận vuông cấp $n$, với $x$ là biến số thực. Chứng minh rằng phương trình $\det A=0$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt.

 

Xử lí bài dễ trước ạ, em mới mon men học nên có gì sai sót mong anh sửa giúp

 

$A=\begin{pmatrix} -1&x &x &... &x \\ x& -1& x&... &x \\ x& x& -1&... &x \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ x& x& x& ...&-1 \end{pmatrix}$

 

$\overset{c1\rightarrow c1+c2+...+cn}{\rightarrow}\begin{pmatrix} (n-1)x-1&x &x &... &x \\ (n-1)x-1&-1 &x &... &x \\ (n-1)x-1&x &-1 &... &x \\ \vdots &\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ (n-1)x-1 &x &x &... &-1 \end{pmatrix}$

 

$\xrightarrow[dn\rightarrow -d1+dn]{d2\rightarrow -d1+d2}\begin{pmatrix} (n-1)x-1 &x &x &... &x \\ 0& -1-x&0 & ... &0 \\ 0& 0&-1-x &... &0 \\ \vdots&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0& 0& 0& 0&-1-x \end{pmatrix}$

 

Do đó: $detA=(-1)^{n-1}(1+x)^{n-1}[(n-1)x-1]$

 

Vậy phương trình $detA$ có 2 nghiệm thực đó là: $x=-1,x=\frac{1}{n-1}$



#3 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 15-12-2015 - 19:57

Câu 2: Cho ma trận $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0\\ -3 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

a) Tính $A^{2015}$.

 

 

Tách ma trận $A$ thành tổng của hai ma trận rồi dùng khai triển Newton:

 

Ta có:

 

$A=\begin{pmatrix} 3 &0 &0 \\ 2 &3 &0 \\ -3 &4 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 2 &0 &0 \\ -3 &4 &0 \end{pmatrix}+3.\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix}$

 

Do đó: $A=B+3I_{3}$ với $I_{3}$ là ma trận đơn vị cấp 3.

 

Mà: $B^2=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 8 &0 &0 \end{pmatrix}, B^3=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix}$ nên: $B^k=0$ với $k\geq 3$

 

Khi đó:

 

                              $A^{2015}=(B+3I_3)^{2015}=\sum_{k=0}^{2015}C_{k}^{2015}B^k.(3I_3)^{2015-k}$

 

                                                                          $=(3I_3)^{2015}+2015.B.(3I_3)^{2014}+\frac{2015.2014}{2}.B^2.(3I_3)^{2013}$

 

Đến đây thì chắc là đơn giản rồi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 15-12-2015 - 20:07





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh