Chủ đề này có 1 trả lời

[quanganhthanhhoa]

Cho $a,b,c>0$.Tìm Max:$\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

[haichau0401]

Cho $a,b,c>0$.Tìm Max:$\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

Bài này mình dùng bất đẳng thức bu nhi

Ta có:

$P=\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}} =\sqrt{2}\left ( \sum \sqrt{\frac{a}{a+b}} \right )$

$\Leftrightarrow \frac{P}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{a(b+c)(c+a)}+\sqrt{b(c+a)(a+b)}+\sqrt{c(a+b)(b+c)}}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$\leq \frac{\sqrt{\left [ a(b+c)+b(c+a) +c(a+b)\right ]\left [ (a+b)+(b+c)+(c+a) \right ]}}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$\doteq \frac{\sqrt{2(ab+bc+ca).2(a+b+c)}}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}= 2\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$\doteq 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$ (1)

Vì $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$ nên (1) luôn đúng.

Vậy $Max\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 14-12-2015 - 22:05