Chủ đề này có 3 trả lời

[dreamcatcher170201]

1)Cho $a=x+\frac{1}{x}$ là số nguyên.CMR $b=x^{2015}+\frac{1}{x^{2015}}$ nguyên
2)CMR nếu hiệu lập phương của 2 số tự nhiên liên tiếp là bình phương của 1 số tự nhiên thì số tự nhiên này có thể viết dưới dạng tổng bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp
3)Cho 2 số tự nhiên a và b.CMR a)nếu a.b là số tự nhiên chẵn thì tồn tại các số tự nhiên c,d sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$
b)Nếu a.b lẻ thì sao?

[taifacebookvn]

Có ai giải được chưa cho mình xin lời giải để tham khảo với ah, Mình ko giải được bài này ???

[tpdtthltvp]

1)Cho $a=x+\frac{1}{x}$ là số nguyên.CMR $b=x^{2015}+\frac{1}{x^{2015}}$ nguyên
 

$x+\frac{1}{x}\in Z\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^2\in Z\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}\in Z\Rightarrow (x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})\in Z\Rightarrow x^5+\frac{1}{x^5}\in Z$.

Tương tự $x^{2015}+\frac{1}{x^{2015}}\in Z$

[An Infinitesimal]

1)Cho $a=x+\frac{1}{x}$ là số nguyên.CMR $b=x^{2015}+\frac{1}{x^{2015}}$ nguyên
2)CMR nếu hiệu lập phương của 2 số tự nhiên liên tiếp là bình phương của 1 số tự nhiên thì số tự nhiên này có thể viết dưới dạng tổng bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp
3)Cho 2 số tự nhiên a và b.CMR a)nếu a.b là số tự nhiên chẵn thì tồn tại các số tự nhiên c,d sao cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}$
b)Nếu a.b lẻ thì sao?

 

1) Vì $x, \frac{1}{x}$ là nghiệm phương trình $X^2-aX+1=0$.

 

Đặt $S_n= x^n+\frac{1}{x^n}$. Khi đó $S_{n}=aS_{n-1}-S_{n-2}.$

Ta có $S_1, S_2=a^2-2\in \mathbb{Z}$ nên $S_n \in \mathbb{Z} \, \forall n \in \mathbb{N}.$

 

2) $(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1= d^2.$

Suy ra $(2d)^2= 3(2n+1)^2+1$

$(2d)^2-3(2n+1)^2=1.$

 

Dẫn đến pt Pell (!!!)

3)

a) Đặt $a=2a', b=2b'$, khi đó $d^2-c^2=2.2(a'^2+b'^2).$ Chọn $\begin{cases} d-c=2,\\ d+c=2(a'^2+b'^2)\end{cases}.$

b) Nếu $a, b$ lẻ thì không tồn tại $c, d$ vì $a^2+b^2$ chia 4 dư 2, trong khi đó $x^2-y^2$ chia 4 dư 0, 1, 3 với $x, y\in \mathbb{N}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 20-12-2015 - 00:39