Chủ đề này có 9 trả lời

[buibichlien]

Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a(a-2)+b(b-2)=0$
Tìm $minP=\sqrt{a^2+(b-1)^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}$
 

[quoccuonglqd]

Áp dụng C-S, $\sqrt{a^{2}+(b-1)^{2}}.\sqrt{2}\geq a+1-b$

             $\sqrt{b^{2}+(a-1)^{2}}.\sqrt{2}\geq b+1-a$

$\rightarrow P.\sqrt{2}\geq a+1-b+b+1-a=2 \rightarrow P\geq \sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a+b=1$ và a(a-2)+b(b-2)=0

[buibichlien]

 

Áp dụng C-S, $\sqrt{a^{2}+(b-1)^{2}}.\sqrt{2}\geq a+1-b$

             $\sqrt{b^{2}+(a-1)^{2}}.\sqrt{2}\geq b+1-a$

$\rightarrow P.\sqrt{2}\geq a+1-b+b+1-a=2 \rightarrow P\geq \sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a+b=1$ và a(a-2)+b(b-2)=0

 

Kết hợp dấu bằng xảy ra khi $a+b=1$ và $a^2+b^2=2(a+b)$
$\rightarrow a=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ và $b=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ (hoặc ngược lại)
Thử lại giá trị $P=\sqrt{2}$ $???$
Làm theo cách này dấu bằng không xảy ra bạn ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buibichlien: 15-12-2015 - 22:29

[quoccuonglqd]

Tại sao vậy,đó chính là cực trị lời giải chỉ ra mà

[buibichlien]

Tại sao vậy,đó chính là cực trị lời giải chỉ ra mà

Khi bạn tìm giá trị $min$ của $A=x^2+1$, rõ ràng là $A\geq 0$ đấy thôi, nhưng dấu bằng không xảy ra trên tập thực. Thì làm sao gọi là $minA=0$ được.

[bvptdhv]

Áp dụng BĐT Mincowski ta có 

$P \geq \sqrt{(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}}=\sqrt{2(a^{2}+b^{2}+1)} \geq \sqrt{2}$

Dấu bằng tại $a=b=0$
đợi mình xem lại xí

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvptdhv: 16-12-2015 - 14:55

[revenge]

a=b=0 suy ra P bằng 2 

[Viet Hoang 99]

Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a(a-2)+b(b-2)=0$
Tìm $minP=\sqrt{a^2+(b-1)^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}$
 

$a^2+(b-1)^2=2a+1\ge 0\Rightarrow a\ge -\dfrac{1}{2}$

Tương tự $b\ge -\dfrac{1}{2}$

+ $P=\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}$

+ Đặt $x=a+b;y=ab\Rightarrow x^2-2x=2y$. 

+

$\begin{align*} P^2&=2a+2b+2+2\sqrt{(2a+1)(2b+1)}\\ &=2x+2+2\sqrt{4y+2x+1}\\ &=2x+2+2\sqrt{2x+1+(2x^2-2x)} \end{align*}$

 

Do $a^2+b^2=2(a+b)=2x\ge 0$ nên $x\ge 0$

Khảo sát hàm số $f(x)\ge f(0)=4$

$P\ge 2$, dấu = khi $a=b=0$.

[PlanBbyFESN]

Cho $a,b$ thực thỏa mãn $a(a-2)+b(b-2)=0$
Tìm $minP=\sqrt{a^2+(b-1)^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}$
 

sử dụng bđt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$

(dễ dàng chứng minh : sử dụng bđt Cauchy-Schwarz)

Áp dụng vào bài thì có

P=$\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ đề bạn ra thế nào ấy ??

[buibichlien]

sử dụng bđt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+\left ( b+d \right )^{2}}$

(dễ dàng chứng minh : sử dụng bđt Cauchy-Schwarz)

Áp dụng vào bài thì có

P=$\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{(1-a)^{2}+b^{2}}\geq \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow$ đề bạn ra thế nào ấy ??

Đấy là do bđt còn có điều kiện ràng buộc $a(a-2)+b(b-2)=0$ nên không thể dễ dàng làm thế được.