Chủ đề này có 6 trả lời

[phamquyen134]

1/ Cho $\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}=2\sqrt{1+a}$. C/m x+y $\geq$ 2a?

2/ Cho các số dương a, b, c t/m bđt $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{c}$.

            C/m: $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4$ ?

3/ Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.

a/ C/m ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)ac(a+c-2b) $\geq$ 0

b/ C/m: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$ ?

4/ Cho x, y $\geq$ 1. C/m: $\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$ ?

 

[Minhnguyenthe333]

1/ Cho $\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}=2\sqrt{1+a}$. C/m x+y $\geq$ 2a?

3/ Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
b/ C/m: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$ ?

1/Từ gt$<=>4(1+a)\leqslant 2(2+x+y)<=>x+y\geqslant 2a$
3/
b/$\sum \frac{a}{b+c-a}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}\geqslant 3$

[chaubee2001]

4. Xét $\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}$

$=\frac{xy-x^2}{(1+x^2)(1+xy)}+\frac{xy-y^2}{(1+xy)(1+y^2)}=\frac{(xy-x^2)(1+y^2)+(xy-y^2)(1+x^2)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}$

$=...=\frac{(xy-1)(x-y)^2}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \geq 0$ 

Suy ra đpcm...

[chaubee2001]

3.a/

$ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ac(a+c-2b)=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+a^2c-6abc$

$=...=(a+b)(b+c)(c+a)-8abc$

Cô-si: $a+b \geq 2\sqrt{ab},b+c \geq 2\sqrt{bc},c+a \geq 2\sqrt{ca}.$

nên $(a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc$

suy ra đpcm.

[revenge]

theo mình câu 2 diều kiện phải là $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

giải

quy đồng lên hết vậy ta phải chứng minh $9ab+9bc\geq 12ac+6b^2$ tương dương $36ab+36bc \geq 48ac+24b^2$ cái này  đúng theo giả thiết 

$\frac{4}{a+c}\leq\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$ tương dương $2bc+2ab\geq 4b^2$ và $ab+bc=2ac$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi revenge: 14-12-2015 - 23:24

[phamquyen134]

1/Từ gt$<=>4(1+a)\leqslant 2(2+x+y)<=>x+y\geqslant 2a$
3/
b/$\sum \frac{a}{b+c-a}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}\geqslant 3$

giải thích rõ câu b với bạn

[tpdtthltvp]

giải thích rõ câu b với bạn

$\sum \frac{a}{b+c-a}=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}= 3$