Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+21x+9}}\geq \frac{1}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

Cho $x,y,z>0$. thỏa mãn $xyz=27$. Chứng minh:

$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+21x+9}}\geq \frac{1}{3}$



#2
quoccuonglqd

quoccuonglqd

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
Thay $(x,y,z)\rightarrow (3x,3y,3z)$ ,xyz=1,bất đẳng thức trở thành 
$\sum \frac{1}{\sqrt{9x^{2}+63x+9}}\geq \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x^{2}+7x+1}}\geq 1$
Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{a^{2}b^{2}}{c^{4}},\frac{b^{2}c^{2}}{a^{4}},\frac{c^{2}a^{2}}{b^{4}})$
Bất đẳng thức trở thành $\sum \frac{a^{4}}{\sqrt{b^{4}c^{4}+7a^{4}b^{2}c^{2}+a^{8}}}\geq 1$
Đặt biểu thức cần xét là P,áp dụng Holder ta có
$P^{2}.\sum a(b^{4}c^{4}+7a^{4}b^{2}c^{2}+a^{8})\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})^{3}$
Biến đổi tương đương ta cần chứng minh 
$3\sum a^{6}b^{3} +3\sum a^{3}b^{6}+6a^{3}b^{3}c^{3}\geq 7\sum a^{5}b^{2}c^{2}+\sum a^{4}b^{4}c$
Ta có $6a^{3}b^{3}c^{3}+2\sum a^{5}b^{2}c^{2}+2\sum a^{4}b^{4}c \geq 6\sum a^{4}b^{4}c$
Nên ta cần chứng minh $\sum a^{6}b^{3} +\sum a^{3}b^{6}+\sum a^{4}b^{4}c\geq \sum a^{5}b^{2}c^{2}$
Áp dụng bổ đề $\sum a^{3}b^{6}\geq \sum a^{5}bc^{3}$(có thể chứng minh dễ dàng bằng kỹ thuật ghép đối xứng)
BDT trở thành $\sum a^{6}b^{3}+ \sum a^{5}bc^{3}+ \sum a^{4}b^{4}c\geq 3\sum a^{5}b^{2}c^{2}$(luôn đúng theo AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 17-12-2015 - 20:28





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh