Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+21x+9}}\geq \frac{1}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình

Đã gửi 15-12-2015 - 11:49

Cho $x,y,z>0$. thỏa mãn $xyz=27$. Chứng minh:

$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+21x+9}}\geq \frac{1}{3}$



#2 quoccuonglqd

quoccuonglqd

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa

Đã gửi 17-12-2015 - 19:45

Thay $(x,y,z)\rightarrow (3x,3y,3z)$ ,xyz=1,bất đẳng thức trở thành 
$\sum \frac{1}{\sqrt{9x^{2}+63x+9}}\geq \frac{1}{3}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x^{2}+7x+1}}\geq 1$
Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{a^{2}b^{2}}{c^{4}},\frac{b^{2}c^{2}}{a^{4}},\frac{c^{2}a^{2}}{b^{4}})$
Bất đẳng thức trở thành $\sum \frac{a^{4}}{\sqrt{b^{4}c^{4}+7a^{4}b^{2}c^{2}+a^{8}}}\geq 1$
Đặt biểu thức cần xét là P,áp dụng Holder ta có
$P^{2}.\sum a(b^{4}c^{4}+7a^{4}b^{2}c^{2}+a^{8})\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})^{3}$
Biến đổi tương đương ta cần chứng minh 
$3\sum a^{6}b^{3} +3\sum a^{3}b^{6}+6a^{3}b^{3}c^{3}\geq 7\sum a^{5}b^{2}c^{2}+\sum a^{4}b^{4}c$
Ta có $6a^{3}b^{3}c^{3}+2\sum a^{5}b^{2}c^{2}+2\sum a^{4}b^{4}c \geq 6\sum a^{4}b^{4}c$
Nên ta cần chứng minh $\sum a^{6}b^{3} +\sum a^{3}b^{6}+\sum a^{4}b^{4}c\geq \sum a^{5}b^{2}c^{2}$
Áp dụng bổ đề $\sum a^{3}b^{6}\geq \sum a^{5}bc^{3}$(có thể chứng minh dễ dàng bằng kỹ thuật ghép đối xứng)
BDT trở thành $\sum a^{6}b^{3}+ \sum a^{5}bc^{3}+ \sum a^{4}b^{4}c\geq 3\sum a^{5}b^{2}c^{2}$(luôn đúng theo AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoccuonglqd: 17-12-2015 - 20:28





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh