Chủ đề này có 2 trả lời

[olympiachapcanhuocmo]

Cho $\left\{\begin{matrix}x,y,z\epsilon [-1,1] & & \\ x+y+z=0 & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng : $\sqrt{1+x+y^{2}}+\sqrt{1+y+z^{2}}+\sqrt{1+z+x^{2}}\geq 3$

 

 

P/S: Đề cao sự sáng tao, nhận xét , phân tích cho bài toán !      

 

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $\left\{\begin{matrix}x,y,z\epsilon [-1,1] & & \\ x+y+z=0 & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng : $\sqrt{1+x+y^{2}}+\sqrt{1+y+z^{2}}+\sqrt{1+z+x^{2}}\geq 3$

 

 

P/S: Đề cao sự sáng tao, nhận xét , phân tích cho bài toán !      

Theo nguyên lý $Dirichlet$ thì trong ba số $x+y^{2}$ // $y+z^{2}$ // $z+x^{2}$ phải có ít nhất hai số cùng dấu $0$

Không mất tính tổng quát giả sử $(x+y^{2})(y+z^{2}) \geq 0$

 Sử dụng một bổ đề quen thuộc : Với $ab \geq 0$ thì $\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b} \geq 1+\sqrt{1+a+b}$

Chứng minh bằng cách bình phương hai vế sau đó rút gọn bình phương tiếp ra được $ab \geq 0$ ( đúng theo giả thiết )

 

Quay trở lại bài toán . Theo giả sử ở trên sử dụng bổ đề ta có :

$\sum \sqrt{1+x+y^{2}} \geq 1+\sqrt{1+x+y+y^{2}+z^{2}}+\sqrt{1+z+x^{2}}=1+\sqrt{(1-z+z^{2})+y^{2}}+\sqrt{(1+z)+x^{2}}$

Áp dụng BĐT $Mincowxki$ ta được :

..hai chấm $ \geq 1+\sqrt{(\sqrt{1-z+z^{2}}+\sqrt{1+z})^{2}+(y+x)^{2}}=1+\sqrt{(\sqrt{1-z+z^{2}}+\sqrt{1+z})^{2}+z^{2}}$

Bây giờ cần chứng minh

$1+\sqrt{(\sqrt{1-z+z^{2}}+\sqrt{1+z})^{2}+z^{2}} \geq 3$

Tương đương

$2+z^{2}+2\sqrt{(1-z+z^{2})(1+z)}+z^{2} \geq 4$

$<=>\sqrt{(1-z+z^{2})(1+z)} \geq 1-z^{2}$

$<=>z^{2}(z^{2}-1) \leq 0$ đúng vì $-1 \leq z \leq 1$

Bài toán được chứng minh...

Dấu bằng xẩy ra khi $x=y=z=0$

 

Ý tưởng : Nhận thấy $x//y//z$ không hẳn là đều dương nên không thể $AM_GM$ hay $C-S$ được 

Cần phải đưa về đánh giá bằng điều kiện bài cho . Kết hợp Bổ đề và sự ràng buộc biến .

Có thể đưa bất đẳng thức về đánh giá với một biến

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 16-12-2015 - 21:10

[olympiachapcanhuocmo]

Dạ thế còn những lời phân tích , bình luận thì sao ạ ?