Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)}\geq 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 buibichlien

buibichlien

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đã gửi 16-12-2015 - 13:39

Cho $x,y,z$ dương. Chứng minh :
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)}\geq 2$



#2 quangtq1998

quangtq1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 192 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-12-2015 - 19:42

$\sum \frac{x}{y+z} \ge \frac{(\sum\sqrt{x})^2}{2(x+y+z)}\ge \frac{9\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)}$
$\Rightarrow dpcm$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 20-12-2015 - 19:43


#3 buibichlien

buibichlien

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Đã gửi 21-12-2015 - 18:06

$\sum \frac{x}{y+z} \ge \frac{(\sum\sqrt{x})^2}{2(x+y+z)}\ge \frac{9\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)}$
$\Rightarrow dpcm$

Làm thế nào để $\rightarrow đpcm$ vậy bạn. Mình chưa hiểu lắm  :(



#4 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 21-12-2015 - 23:31

Bdt này dấu bằng ko đối xứng giữa các biến mà xảy ra khi a=b=1 ,c=0 và các hoán vị có thể dồn biến tại biên or pqr để tôi giải thử :))) ko ra đừng phê bình nha mình chỉ nói ý tưởng thôi

#5 lebaominh95199

lebaominh95199

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Đã gửi 25-12-2015 - 23:05

Cho $x,y,z$ dương. Chứng minh :
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)}\geq 2$

Áp dụng bất đẳng thức: Với a,b,c dương, ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Khi đó ta cần chứng minh:$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{3}{2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})}\geq 2$

Đặt $\frac{x}{y}=a;\frac{y}{z}=b;\frac{z}{x}=c$, suy ra:abc=1, ta cần chứng minh:

$\frac{1}{bc+c}+\frac{1}{ac+a}+\frac{1}{ab+b}+\frac{3}{2(a+b+c)}\geq 2$

Ta có:$VT\geq \frac{(\sum a)^{2}}{\sum a+\sum a^{2}b}+\frac{3}{2\sum a}$

Đặt:$a+b+c=p,\sum a^{2}b=q$; khi đó:$p\geq 3;q\geq 3$

Ta có:$\frac{p^{2}}{p+q}+\frac{3}{2q}-2=\frac{(p-3)(2pq+2q+3)+(q-3)(4q+3)}{2q(p+q)}\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 25-12-2015 - 23:51


#6 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 26-12-2015 - 00:37

Áp dụng Schur, có: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 2$

Cần chứng minh: $\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)} \geq \frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Cần chứng minh: $3(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}(x+y+z)$

Ta có: $3(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{3}(x+y+z)(xy+yz+zx) \geq 8(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$ hoặc $x=y,z=0$ và hoán vị..


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#7 lebaominh95199

lebaominh95199

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Đã gửi 26-12-2015 - 17:36

Áp dụng Schur, có: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 2$

Cần chứng minh: $\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)} \geq \frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Cần chứng minh: $3(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}(x+y+z)$

Ta có: $3(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{3}(x+y+z)(xy+yz+zx) \geq 8(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$ hoặc $x=y,z=0$ và hoán vị..

Bạn ơi, x,y,z dương thì làm sao z=0 được



#8 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 26-12-2015 - 17:50

Bạn ơi, x,y,z dương thì làm sao z=0 được

Sorry, mình đọc không kĩ đề, mà thực ra bài này chỉ cần điều kiện $x,y,z \geq0$ và $xy+yz+zx>0$ là đủ rồi.


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh