Chủ đề này có 7 trả lời

[buibichlien]

Cho $x,y,z$ dương. Chứng minh :
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)}\geq 2$

[quangtq1998]

$\sum \frac{x}{y+z} \ge \frac{(\sum\sqrt{x})^2}{2(x+y+z)}\ge \frac{9\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)}$
$\Rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 20-12-2015 - 19:43

[buibichlien]

$\sum \frac{x}{y+z} \ge \frac{(\sum\sqrt{x})^2}{2(x+y+z)}\ge \frac{9\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)}$
$\Rightarrow dpcm$

Làm thế nào để $\rightarrow đpcm$ vậy bạn. Mình chưa hiểu lắm 

[Gachdptrai12]

Bdt này dấu bằng ko đối xứng giữa các biến mà xảy ra khi a=b=1 ,c=0 và các hoán vị có thể dồn biến tại biên or pqr để tôi giải thử ) ko ra đừng phê bình nha mình chỉ nói ý tưởng thôi

[lebaominh95199]

Cho $x,y,z$ dương. Chứng minh :
$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)}\geq 2$

Áp dụng bất đẳng thức: Với a,b,c dương, ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Khi đó ta cần chứng minh:$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{3}{2(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})}\geq 2$

Đặt $\frac{x}{y}=a;\frac{y}{z}=b;\frac{z}{x}=c$, suy ra:abc=1, ta cần chứng minh:

$\frac{1}{bc+c}+\frac{1}{ac+a}+\frac{1}{ab+b}+\frac{3}{2(a+b+c)}\geq 2$

Ta có:$VT\geq \frac{(\sum a)^{2}}{\sum a+\sum a^{2}b}+\frac{3}{2\sum a}$

Đặt:$a+b+c=p,\sum a^{2}b=q$; khi đó:$p\geq 3;q\geq 3$

Ta có:$\frac{p^{2}}{p+q}+\frac{3}{2q}-2=\frac{(p-3)(2pq+2q+3)+(q-3)(4q+3)}{2q(p+q)}\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lebaominh95199: 25-12-2015 - 23:51

[chardhdmovies]

Áp dụng Schur, có: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 2$

Cần chứng minh: $\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)} \geq \frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Cần chứng minh: $3(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}(x+y+z)$

Ta có: $3(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{3}(x+y+z)(xy+yz+zx) \geq 8(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$ hoặc $x=y,z=0$ và hoán vị..

[lebaominh95199]

Áp dụng Schur, có: $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 2$

Cần chứng minh: $\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2(x+y+z)} \geq \frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Cần chứng minh: $3(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}(x+y+z)$

Ta có: $3(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{3}(x+y+z)(xy+yz+zx) \geq 8(x+y+z)\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$ hoặc $x=y,z=0$ và hoán vị..

Bạn ơi, x,y,z dương thì làm sao z=0 được

[chardhdmovies]

Bạn ơi, x,y,z dương thì làm sao z=0 được

Sorry, mình đọc không kĩ đề, mà thực ra bài này chỉ cần điều kiện $x,y,z \geq0$ và $xy+yz+zx>0$ là đủ rồi.