cho x,y,z là các số thực dương thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{y^{2}+x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 16-12-2015 - 14:48
cho x,y,z là các số thực dương thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{y^{2}+x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 16-12-2015 - 14:48
Đẳng thức cần chứng mình tương đương với: $\sum \frac{x}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Xét hàm số: $f(t)=t(1-t^{2})$ với $t\in (0;1)$
Ta có: $f'(t)=1-3t^{2}$; $f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Vẽ bảng biến thiên ta tính được: $f(t)\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow \frac{t}{1-t^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}t^{2}$
Vậy ta suy ra: $\sum \frac{x}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.\sum x^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$
cho x,y,z là các số thực dương thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{y^{2}+x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh
$\leftrightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$\leftrightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.\sum x^{2}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{x}{1-x^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}$
$\leftrightarrow x(1-x^{2}) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$
$\leftrightarrow x^{2}(1-x^{2})^{2} \leq \frac{4}{27}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$x^{2}(1-x^{2})^{2}=\frac{1}{2}.2x^{2}.(1-x^{2}).(1-x^{2}) \leq \frac{1}{2}.\frac{(2x^{2}+1-x^{2}+1-x^{2})^{3}}{27}=\frac{4}{27}$
Vậy ta có $\frac{x}{1-x^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.x^{2}$
$\rightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.\sum x^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $
Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$
----
P/s:Một bài trong đề Olympiad 30-4 năm nào đấy thì phải
ờ để anh giải cách khác nhé :v hình như là đề olympic 30/4 2 cách nhé
bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$
ta sẽ c/m $\frac{x}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2} \Leftrightarrow 3\sqrt{3}x^{4}+2x\geq 3\sqrt{3}x^{2}$ (1)$
hiển nhiên đúng vì áp dụng AM-GM ta có
VT(1)= 3\sqrt{3}x^{4}+x+x\geq 3\sqrt[6]{3\sqrt{3}x^{6}}=3\sqrt{3}x^{2} $ còn lại thì tự c/m được
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh