Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{y^{2}+x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

cho x,y,z là các số thực dương thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{y^{2}+x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 16-12-2015 - 14:48


#2
lebaominh95199

lebaominh95199

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Đẳng thức cần chứng mình tương đương với: $\sum \frac{x}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Xét hàm số: $f(t)=t(1-t^{2})$ với $t\in (0;1)$

Ta có: $f'(t)=1-3t^{2}$; $f'(t)=0\Leftrightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Vẽ bảng biến thiên ta tính được: $f(t)\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow \frac{t}{1-t^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}t^{2}$

Vậy ta suy ra: $\sum \frac{x}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.\sum x^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$



#3
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
Mình có cách khác ko dùng đạo hàm (chưa hoch đạo hàm :)))) )

#4
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

cho x,y,z là các số thực dương thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

chứng minh $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{y^{2}+x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh 

$\leftrightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\leftrightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.\sum x^{2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{x}{1-x^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}$

$\leftrightarrow x(1-x^{2}) \leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

$\leftrightarrow x^{2}(1-x^{2})^{2} \leq \frac{4}{27}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$x^{2}(1-x^{2})^{2}=\frac{1}{2}.2x^{2}.(1-x^{2}).(1-x^{2}) \leq \frac{1}{2}.\frac{(2x^{2}+1-x^{2}+1-x^{2})^{3}}{27}=\frac{4}{27}$

Vậy ta có $\frac{x}{1-x^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.x^{2}$

$\rightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.\sum x^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2} $

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

----

P/s:Một bài trong đề Olympiad 30-4 năm nào đấy thì phải



#5
Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết

ờ để anh giải cách khác nhé :v hình như là đề olympic 30/4 2 cách nhé 

bđt $\Leftrightarrow \sum \frac{x}{1-x^{2}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

ta sẽ c/m $\frac{x}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2} \Leftrightarrow 3\sqrt{3}x^{4}+2x\geq 3\sqrt{3}x^{2}$ (1)$

hiển nhiên đúng vì áp dụng AM-GM ta có 

VT(1)= 3\sqrt{3}x^{4}+x+x\geq 3\sqrt[6]{3\sqrt{3}x^{6}}=3\sqrt{3}x^{2} $ còn lại thì tự c/m được






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh